Punkt Symmetrie Polynom 3ten Grades

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie ein Polynom 3ten Grades deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist und für x=2 einen Extrempuntk hat.

f(x)=ax³+bx²

f'(2)=0

Aber was oll ich als 2te Bedingungen nehmen?

Answer 1

f(x) = ax^3 + bx

f'(x) = 3ax^2 + b

f'(2) = 12a + b = 0 → b = -12a

Nimm einfach a = 1 und b = -12

f(x) = x^3 - 12x

~plot~ x^3-12x;{2|-16};[[-4|4|-20|20]] ~plot~

Answer 2

Bedingung Punktsymmetrie f(x)=-1*f(x) und n=ungerade

also f(x)=a3*x³+a2*x   hier ao=0 weil der Grapg durch den Ursprung geht f(0)=0

punktsymmetrisch um Ursprung

1) f(2)=6=a3*2³+a1*2  die 6 wurde frei gewählt

2) f´(2)=0=3*a2*2²+a1

1) 8*a2+2*a1=6

2) 12*a3+1*a1=0

Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) a3=-3/8 und a1=4,5

eine mögliche Lösung von unendlich vielen Lösungen

y=f(x)=-3/8*x³+4,5*x

~plot~-3/8*x^3+4,5*x;[[-5|5|-10|10]];x=2~plot~

Answer 3

Da die Funktion punktsymmetrisch ist, hat sie bei x= -2 auch einen Extrempunkt, doch das ergibt sich von allein.  Dass f(0)=0 hast du ja schon berücksichtigt.

Allerdings darf da nicht bx² stehen sondern bx. Es dürfen in der Funktion keine geraden Exponenten stehen und kein konstantes Glied.

$$ f(x) = ax^3+bx $$

$$ f'(x) = 3ax^2+b $$

$$ f'(2) = 12a + b = 0$$

$$ b= - 12 a $$

Jetzt kannst du dir noch aussuchen , ob bei x= 2 ein Maximum sein soll, dann ist a <0

Oder ein Minimum a > 0

Da es keine weiteren Angaben gibt, kannst du dir a aussuchen.

Answer 4

allgemein
f ( x ) = a * x^3 + b*x^2 + c * x + d
f ( 0 ) = 0  => d = 0
f ( x ) = a * x^3 + b*x^2 + c * x

Punktsymmetrie zum Ursprung
f ( x ) = - f ( -x )
a * x^3 + b*x^2 + c * x = - ( a *( -x)^3 + b*(-x)^2 + c * (-x) )
a * x^3 + b*x^2 + c * x = - ( -a * x^3 + b* x^2 - c * x )
a * x^3 + b*x^2 + c * x =  a * x^3 - b* x^2 + c * x

Die Gleichung ist nur dann richtig falls b = 0 ist
f ( x ) = a * x^3 + c * x
f ´( 2 ) = 0
f ´( x ) = 3*a * x^2 + c
f ´( 2 ) = 3*a * 2^2 + c = 0
12*a + c = 0
Bestimmen Sie ( irgend-) ein Polynom 3ten Grades
mit der Bedingung
12*a + c = 0