Aloha :)
Gegeben ist eine Parabel \(y=\frac{1}{2}x^2\) (blau) und eine horizontale Gerade (rot).
~plot~ 0,5*x^2 ; 3 ; x=sqrt(6) ; x=-sqrt(6) ; [[-3|3,5|-1|4]] ~plot~
Die eingeschlossene Fläche soll \(72\) FE betragen. Wir müssen zunächst die Integralgrenzen bestimmen, also die \(x\)-Werte bei denen die lila und die grüne Linie die \(x\)-Achse schneiden:$$0,5x^2=c\quad\Leftrightarrow\quad x^2=2c \quad\Leftrightarrow\quad x=\pm\sqrt{2c}$$Die eingeschlossene Fläche bekommen wir, wenn wir von dem Rechteck (lila-rot-grün) die Fläche unter der Parabel subtrahieren.$$F=\underbrace{c\cdot 2\sqrt{2c}}_{=\text{Fläche Rechteck}}-\underbrace{\int\limits_{-\sqrt{2c}}^{\sqrt{2c}}\frac{1}{2}x^2\,dx}_{=\text{Fläche unter der Parabel}}$$$$\phantom{F}=(2c)^{3/2}-\left[\frac{1}{6}x^3\right]_{-\sqrt{2c}}^{\sqrt{2c}}=(2c)^{3/2}-\left(\frac{(\sqrt{2c})^3}{6}-\frac{(-\sqrt{2c})^3}{6}\right)$$$$\phantom{F}=(2c)^{3/2}-\frac{(2c)^{3/2}}{3}=\frac{2}{3}\cdot(2c)^{3/2}$$Diese Fläche soll gleich \(72\) FE betragen:$$\left.\frac{2}{3}\cdot(2c)^{3/2}=72\quad\right|\quad\cdot\frac{3}{2}$$$$\left.(2c)^{3/2}=108\quad\right|\quad(\cdots)^{2/3}$$$$\left.2c=108^{2/3}\quad\right|\quad\div2$$$$c=\frac{108^{2/3}}{2}\approx\boxed{11,3393}$$
Nachtrag: Ich sehe gerade, dass da noch eine Unstimmigkeit in der Aufgabenstellung ist. Im Titel steht, die Fläche soll \(75\) sein, in der Aufgabe steht, die Fläche soll \(72\) sein. Ich habe hier mit \(72\) gerechnet. Wenn \(75\) gemeint ist, musst du den letzten Teil der Rechnung noch anpassen. Das Ergebnis ist dann \(c\approx11,6521\).
