Parabel K(x) = x^2+x-2, G(x)= -1/2x^2+3x geschnitten mit x=u gibt zwei Punkte mit Abstand 2

Question

Wie geht das ?

 

Parabel K = x²+x-2

               G= -1/2x²+3x

Frage: Die Gerade mit der Gleichung x=u (0<u<2) schneidet K im Punkt P und G im Punkt Q. Für welches  u haben die P und Q einen Abstand von 2 ??

Answer 1

Die Gleichung x = u beschreibt eine Parallele zur y--Achse an der Stelle x = u. Die x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte P und Q dieser Geraden mit den gegebenen Parablen sind also:

x_p = u und x_q = u

Die beiden Schnittpunkte liegen daher senkrecht übereinander. Der gesuchte Abstand ist daher gleich dem Abstand der Funktionswerte K ( u ) und G ( u ). Dieser soll den Wert 2 haben, also: 

| K ( u ) - G ( u ) | = 2

<=> |  u ² + u - 2 + ( 1 / 2 ) u ² - 3 u | = 2

<=> | 1,5 u ² - 2 u - 2 |  = 2

Fall 1: 1,5 u ² - 2 u- 2 ≥ 0

dann:

| 1,5 u ² - 2 u - 2 |  = 2

<=> 1,5 u ² - 2 u - 2  = 2

[Auflösen nach u]

...

u = - 1,097 oder u = 2,431

Beide Lösungen liegen nicht im geforderten Intervall 0 < u < 2

Fall 2: 1,5 u ² - 2 u- 2 < 0

dann:

| 1,5 u ² - 2 u - 2 |  = 2

<=> - 1,5 u ² + 2 u + 2  = 2

[Auflösen nach u]

...

u = 0 oder u = 4 / 3

Nur die Lösung

u = 4 / 3

liegt im geforderten Intervall, ist also die gesuchte Lösung.