Im großen und ganzen das, was MathePeter sagt. Einige Anmerkungen:
Messbarkeit ist eine verwandte Eigenschaft zur Stetigkeit von Abbildungen (im Sinne der Topologie, also dass Urbilder offener Mengen offen sind, wobei Offenheit und Messbarkeit ähnliche Eigenschaften erfüllen). Ist deine Topologie auf \(X\) zu grob, dann sind zu wenige interessante Abbildungen \(X\to Y\) und zu viele uninteressante/unstrukturierte Abbildungen \(Y\to X\) stetig. Die gegenteilige Aussage, falls deine Topologie zu fein ist.
In der Maßtheorie ist das ähnlich, du möchtest genug Mengen in deiner Sigma-Algebra haben, damit du möglichst vielen Mengen ein Volumen zuordnen kannst, aber wenig genug um zu verhindern, dass du keine "schönen" Maße mehr hast (siehe Banach-Tarski). Die "indiskrete" Sigma-Algebra \(\{\emptyset,X\}\) ist zwar eine Sigma-Algebra, aber keine sonderlich interessante, denn du weißt das Volumen der ganzen Grundmenge und das Volumen der leeren Menge, aber nichts dazwischen. Die Sigma-Algebra \(\mathcal{P}(X)\) ist auch nicht gut geeignet, eben wegen Banach-Tarski, also damit du JEDER Teilmenge ein Volumen zuordnen kannst, muss dein Maß ziemlich hässlich aussehen.
Zusätzlich: Die Borel-algebra ist eben nicht einfach nur \(\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)\), denn eine Menge ist nicht unbedingt entweder offen oder geschlossen, sie kann weder-noch sein, und sie kann auch "nicht darstellbar" sein durch offene oder geschlossene Mengen (das ist quasi die Eigenschaft, um eine Borel-Menge zu sein). z.B. "\(\mathbb{R}/\mathbb{Q}\)" ist eine gern genommene Menge als Gegenbeispiel. In Anführungsstrichen, weil es nicht exakt der Gruppenquotient sein soll, sondern: eine maximale Teilmengen \(X\subseteq\mathbb{R}\), sodass \(\forall x_1\neq x_2\in X:x_1-x_2\notin \mathbb{Q}\), quasi eine Wahl eines Repräsentantensystems des Gruppenquotienten.
