Question

Löse folgende Gleichungssysteme mit dem Gauß-Eliminationsverfahren:

a. \( \left\{\begin{aligned} 3 x+4 y+16 z &=12 \\ 6 x+y+25 z &=24 \\ 4 y+4 z &=0 \end{aligned}\right. \)

b. \( \left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=4 \\ x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=0 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}-4=0\end{array}\right. \)

Answer 1

3·x + 4·y + 16·z = 12
6·x + y + 25·z = 24
4·y + 4·z = 0

II - 2*I

- 7·y - 7·z = 0
4·y + 4·z = 0

Diese Gleichung sind linear abhängig, weshalb eine wegfällt. Jetzt löse ich das LGS in Abhängigkeit von z.

y = -z

3·x + 4·(-z) + 16·z = 12
x = 4 - 4·z

Damit lautet der Lösungsvektor [4 - 4·z, -z, z]

Comments

Bei b) können die 1. und 2. Gleichung nicht gleichzeitig erfüllt sein weshalb es so keine Lösung gibt. Ist die Aufgabe richtig notiert?

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Woran erkennt man, dass diese linear abhängig sind?

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Die eine Gleichung ist ein Vielfaches der anderen Gleichung. Nimm die erste Gleichung mal -4/7 und du erhältst die zweite.

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Kannst Du bitte mal drüber schauen ob ich das richtig gemacht habe?



z=1

y=-1

x=0

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Gleich im ersten Schritt hast du schon einen Fehler.
III - I würde in der 3. Zeile für x -3 ergeben oder?

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Ja Du hast recht. Ich komm da nie auf eine Lösung. :(

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Es gibt unendlich viele Lösungen. Wie das gemacht wird habe ich doch oben vorgemacht.

Du bekommst die Lösungen

x = 4 - 4·z
y = -z
z = z

Für z kannst du jeden beliebigen Wert wählen also z.B. 1

x = 4 - 4·1 = 0
y = -1
z = 1

Das sollte also eine Lösung sein.