Induktions Beweis Beispiel

Question

Aufgabe:

Wo steckt der Fehler im Induktions-”Beweis“ der folgenden Behauptung: Je zwei natürliche Zahlen a, b sind gleich groß.
Beweis: Vollständige Induktion nach dem max{a, b}.
a) max{a, b} = 0: Hier gilt a = b = 0.
b) Die Behauptung gelte f¨ ur max{a, b} = n.
Sei nun max{a, b} = n + 1. Dann ist max{a − 1, b − 1} = n, und es folgt aus der Induktionsvoraussetzung b), dass a − 1 = b − 1 ist, womit aber auch a = b gilt.

Ich verstehe nicht, wie ich da vorgehen soll bzw. wie das Ganze zu lösen ist. Brauche bitte Hilfe.

Answer 1

b) Ich betrachte mal den "ersten" Induktionsschritt von n=0 auf n=1.
Der Induktionsanfang hat uns richtig geliefert: Aus max{a,b}=0 folgt a=0 und b=0, da das Maximum hier nur auf den natürlichen Zahlen definiert wird (sonst Widerspruch mit max(-1,0)=0)!
Nun sei max{a,b}=1. Dann folgt max{a-1,b-1}=0, unter der Voraussetzung, dass a-1>=0 und b-1>=0, ansonsten verletzt du den Definitionsbereich von max. Das führt also zu einem Problem für a=0 und b=1 oder a=1 und b=0 und da liegt der Fehler.

Answer 2

Das Einzige, was falsch ist, ist die Aussage  dass alle Zahlen gleich sind. Der Induktions Anfang ist richtig, dass 0=0, wenn ich also annehme, das zwei Zahlen gleich sind, und ich jeweils eins addiere, dann sind auch diese beiden Zahlen gleich. Wenn ich zu zwei gleichen Zahlen, jeweils einen Betrag a addiere, dann sind die Zahlen gleich ja alle Zahlen die gleich sind, sind gleich, nur für die Zahlen, die es sonst noch so gibt da gilt das eben nicht.