mathematische Sachverhalte formal ausdrücken

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(5) Drücken Sie folgende Sachverhalte , formal" aus:
(a) Die Aussage \( \mathbf{A}(x) \) gilt für alle genügend groben reellen Zahlen \( x \). \( \exists N \in \mathbb{R}: \forall \quad>N: \)
(b) Die reelle Funktion \( f(x) \) hat mindestens eine Nullstelle in \( \mathbb{R} \). \( x \in \mathbb{R}: \underline{=} \)
(c) Die reelle Funktion \( f(x) \) hat ein Minimum in \( \mathbb{R} \). \( \exists x \in \mathbb{R}: \quad y \in \mathbb{R}: \quad f(y) \)

Bei a) hätte ich folgende Idee

∃N∈ℝ: ∀x > N: A(x)

Ich bin mir aber bei den überhaupt nicht sicher?

Könnte mir das jemand erklären?

Answer 1

Hallo, :)

a) Die Aussage ist fast richtig. Du musst noch definieren, dass \(x\in\mathbb{R}\) ist: $$\exists N\in \mathbb{R}:\forall x\in \mathbb{R}: x >N: \mathbf A(x).$$ Es wäre besser in dieser Aufgabe Klammersetzungen zu benutzen, damit klar ist, auf welche Aussage sich welcher Quantor bezieht: $$\left(\exists N\in\mathbb{R}\right):\left(\left(\forall x\in\mathbb{R}:x>N\right) \mathbf A(x)\right).$$ Außerdem ist der letzte Doppelpunkt nicht vonnöten, gesprochen heißt der Doppelpunkt nämlich "so, dass". Das brauchen wir nur zwischen den anderen beiden Aussagen. Das aber nur nebenbei bemerkt - du kannst ja für die Aufgabenstellungen nichts.

b) Mindestens eine Nullstelle heißt, dass ein \(x\) existieren muss, sodass \(f(x)=0\) ist. Also benutzen wir hier den Existenzquantor: \(\exists x\in\mathbb{R}:f(x)=0\).

c) Es gibt ein \(x\), sodass für alle \(y\) die Funktion \(f(y)\) größer als \(f(x)\) ist. Mit anderen Worten, \(x\) ist ein Minimum von \(f\): $$\exists x\in\mathbb{R}:\forall y\in\mathbb{R}:f(x)<f(y).$$