ich hatte zuletzt die folgende Aufgabe (Siehe Bild).
Und zwar ist es halt so, dass wir das so gelernt haben, dass wir bei unserer Definition der prädikatenlogischen Formeln außer den Quantoren ($$\forall$$ und $$\exists$$) und den Junktoren ($$\vee , \wedge , \rightarrow $$) sowie der Negation $$ \neg $$nur die Symbole aus der Signatur verwenden dürfen, in diesem Fall wären das + und exp(x).
Ich habe folgende Formeln aufgeschrieben:
zu (i)
Sei zunächst die φ(y) eine Hilfsformel, die die 0 darstellt wie folgt definiert:
φ(y) = y+y =y .
Idee: wenn ich y=0 setze(und keine andere Zahl sonst), so gilt diese Formel. D.h. mit dieser Formel kann ich die 0 darstellen.
Nun baue ich diese Formel in die eigtl. Formel für x=1 ein und benutze dabei exp aus der Signatur:
ψ(x) = ∃ y (φ(y) ∧ x=exp(y) )
Idee: y ist die 0 und exp(0) ist ja gleich 1. Wenn ich nun x und exp(0) gleichsetze, drücke ich aus, dass x = 1 ist.
zu (ii)
auch hierzu baue ich mir zunächst eine Hilfsfunktion ω(x,y), die mir die ≤ -Relation definiert wie folgt:
ω(x,y) = ∃ z (x+z = y )
Idee: Es gibt eine Zahl z zwischen x und y. Dabei schließe ich nicht aus, dass z=0 sein kann.
Nun sieht mit ω(x,y) und mit der obigen Hilfsformel φ(x), mit der ich ja die 0 darstellen konnte, die eigtl. Formel für (ii) wie folgt aus:
ψ(x,y) = y=x → ¬∃z(φ(z) ∧ ω(x,z))
Idee: wenn y gleich x ist, dann gibt es keine Zahl z=0, sodass x kleiner als z und somit negativ ist.
zu (iii)
hierzu hab ich als Hilfsformel die Formel aus (i) genommen und gesagt:
φ(x,y) = ∃ z ( ψ(z)∧ y +z =x).
Idee: Es gibt ein Zahl z=1, sodass z addiert auf y gleich x ergibt.
zu (iv)
ψ(x,y) = ∃ z (φ(z) ∧ ¬ω(x,z) ) ∧ ∀w∃z ( w $$\neq$$ z → w = exp(z) ) ∧ y = z
hierzu kurz die Idee:
Im Teil ∃ z (φ(z) ∧ ¬ω(x,z) ) versuche ich zu sagen, dass x positiv ist. Dazu wieder die Hilfsfunktionen φ mit der ich die 0 darstellen kann und ω mit der ich die ≤ - Relation darstellen kann(genau wie ich es auch zuvor gemacht habe)
Im Teil ∀w∃z ( w $$\neq$$ z → w = exp(z) ) ∧ y = z versuche folgendes zu sagen:
Wir wissen ja: Zu jeder pos. reellen Zahl x gibt es genau ein ln(x) mit x = exp(ln(x)).
So hier habe ich jetzt folgendes gemacht: Zu jeder Zahl w existiert ein z = ln(x), sodass wenn diese beiden ungleich sind, dann ist w=exp(z) und somit w=exp(ln(x)) und wenn das der Fall ist, dann soll y = z sein
(edit: hier war ich mir v.a. im 2. Teil verdammt unsicher)
zu (v) :
hier habe ich keine Ideen gehabt.
Meine Frage an Euch wäre nun, wie Ihr meine Lösungen findet. Ist das so gut, schlecht, furchtbar? oder doch ok?
Ich lerne das grad neu und würde ich mich über verbesserungsvorschläge, feedbacks freuen, sodass ich meine womöglich gemachten fehler verstehen und demnächst besser machen kann.
vielen dank schon ma im Voraus
