Formulieren Sie, dass R reflexiv, antisymmetrisch, total und transitiv ist mit Hilfe prädikatenlogischer Formeln?

Question

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brauche  eure Hilfe zu einer Aufgabe zum Thema Prädikatenlogik:

Die Aufgabe lautet wie folgt:
Sei R eine zweistellige Relation. Weiterhin gilt P (x,y) wenn xRy und Q (x,y) wenn x=y.
Formulieren Sie, dass R reflexiv, antisymmetrisch, total und transitiv ist mit Hilfe prädikatenlogischer Formeln.
Verwenden Sie hierzu nur die Prädikate P und Q sowie die logischen Junktoren.

 Habe kommenden Samstag meine Mathe-Wiederholungsklausur :/ und versteh einfache nicht, wie man das hinschreibt.

Answer 1

1.) Reflexiv: Reflexiv bedeutet: Für alle x gilt: xRx. Es gibt zwei Möglichkeiten das darzustellen:

I.) ∀x: P(x,x)

II.) ∀x, y: Q(x,y)⇒P(x,y)

 

2.) Antisymmetrisch bedeutet: Wenn zwei Elemente in beide Richtungen in Relation zueinander stehen, dann müssen sie gleich sein, also aus xRy und yRx folgt x=y.

∀x,y: (P(x,y)∧P(y,x))⇒Q(x,y)

 

3.) In einer totalen Relation steht jedes Objekt mit jedem anderen mindestens einmal in Relation, d.h.:

∀x,y: P(x,y)∨P(y,x)

 

4.) transitiv bedeutet, dass sich die Relation quasi vererbt, das heißt aus xRy und yRz folgt xRz.

∀x,y,z: (P(x,y)∧P(y,z))⇒P(x,z)

Comments

Vielen Dank Julian für Deine schnelle Antwort.

Wenn ich die ganzen Eigenschaften (reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und total) in eine Relation packen möchte, verknüpfe ich dann Deine einzelnen Lösungen (1-4) mit ∧ ?

Sodass die schlußendliche Lösung die folgende wäre:

∀x ∀y ∀z ( P(x,y) ∧ P(x,y)) -> Q(x,y) ∧ ( P(x,y) ∧ P (y,z)) -> P (x,z) ∧ P(x,y)∨P(y,x) ∧ P (x,x)

Darf ich das so machen?