Hallo Simon,
deine Lösungen sind richtig. Es gilt: $$\det\left\lvert\begin{pmatrix}4\lambda^2+2 & -2 \\ -2 & \lambda^2+2 \end{pmatrix} \right\lvert=4\lambda^4+10\lambda^2.$$ Die Nullstellen von \(4\lambda^4+10\lambda^2\) sind komplex, es gibt aber auch eine reelle Nullstelle \(\lambda=0\). Die anderen beiden Nullstellen sind \(\lambda=-i\sqrt{5/2}\) und \(\lambda=i\sqrt{5/2}\).
Den Eigenwert \(\lambda=-i\sqrt{5/2}\) eingesetzt in die Matrixgleichung ergibt: $$\begin{pmatrix}-8 & -2 \\ -2 & -1/2 \end{pmatrix}\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}.$$ Mit Gauß-Elimination kommen wir auf die Matrix $$\begin{pmatrix}-8 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}$$ und demnach ist die Lösungsmenge mit \(\mathcal{L}_1=\{\mu \cdot \bigl(\begin{smallmatrix}-1/4 \\ 1\end{smallmatrix}\bigr)\mid \mu \in\mathbb{R}\}\) gegeben. Ein Eigenvektor des Eigenwerts \(\lambda=-i\sqrt{5/2}\) ist für \(\mu = 1\) zum Beispiel mit \(\vec{v}=\bigl(\begin{smallmatrix}-1/4 \\ 1\end{smallmatrix}\bigr)\) gegeben. Bemerke aber, dass es unendlich viele mögliche Eigenvektoren gibt. Das sind alle Vielfachen von \(\vec{v}\). Für den anderen Eigenwert bekommen wir die selben Eigenvekoren, weil \((-i)^2=1=i^2\) ist.
Für den Eigenwert \(\lambda=0\) haben wir die Matrix $$\begin{pmatrix}2 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.$$ Umgewandelt mit Gauß ergibt sich $$\begin{pmatrix}2 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.$$ Die Lösungsmenge ist folglich \(\mathcal{L_2}:=\{\beta\cdot \bigl(\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}\bigr) \mid \beta\in\mathbb{R}\}\) und ein möglicher Eigenvektor ist durch \(\vec{x}=\bigl(\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}\bigr)\) definiert.
Die Eigenvektoren sind nicht orthogonal, weil \(\vec{x}\cdot \vec{v}\neq 0\) ist.
Nachtrag aus der Kommentarspalte: Da hier ein quadratisches Eigenwertproblem zu lösen ist, gilt der Spektralsatz nicht. Die Eigenvektoren müssen also nicht orthogonal zueinander sein.
