Hallo Simon,
deine Lösungen sind richtig. Es gilt: det∣∣∣∣∣(4λ2+2−2−2λ2+2)∣∣∣∣∣=4λ4+10λ2. Die Nullstellen von 4λ4+10λ2 sind komplex, es gibt aber auch eine reelle Nullstelle λ=0. Die anderen beiden Nullstellen sind λ=−i5/2 und λ=i5/2.
Den Eigenwert λ=−i5/2 eingesetzt in die Matrixgleichung ergibt: (−8−2−2−1/2)v=(00). Mit Gauß-Elimination kommen wir auf die Matrix (−80−20)v=(00) und demnach ist die Lösungsmenge mit L1={μ⋅(−1/41)∣μ∈R} gegeben. Ein Eigenvektor des Eigenwerts λ=−i5/2 ist für μ=1 zum Beispiel mit v=(−1/41) gegeben. Bemerke aber, dass es unendlich viele mögliche Eigenvektoren gibt. Das sind alle Vielfachen von v. Für den anderen Eigenwert bekommen wir die selben Eigenvekoren, weil (−i)2=1=i2 ist.
Für den Eigenwert λ=0 haben wir die Matrix (2−2−22)x=(00). Umgewandelt mit Gauß ergibt sich (20−20)x=(00). Die Lösungsmenge ist folglich L2 : ={β⋅(11)∣β∈R} und ein möglicher Eigenvektor ist durch x=(11) definiert.
Die Eigenvektoren sind nicht orthogonal, weil x⋅v=0 ist.
Nachtrag aus der Kommentarspalte: Da hier ein quadratisches Eigenwertproblem zu lösen ist, gilt der Spektralsatz nicht. Die Eigenvektoren müssen also nicht orthogonal zueinander sein.