Gegeben seien die Verknüpfungen \(\circ: X\times X \rightarrow X\) und \(\otimes: X\times X \rightarrow X\) mit den Eigenschaften:
(1) \(\exists e_{\otimes}, \ e_{\circ}\in X: e_{\circ} \circ x = x = x \circ e_{\circ} \ \wedge \ e_{\otimes}\otimes x = x = x \otimes e_{\otimes} \ \forall x\in X\)
(2) \(\forall a,\ b, \ c, \ d\in X: (a \otimes b) \circ (c\otimes d) = (a\circ c) \otimes (b\circ d)\)
Es gilt \(e_{\otimes} \overset{(1)}{=} e_{\otimes} \circ e_{\circ} \overset{(1)}{=} (e_{\otimes} \circ e_{\circ})\otimes e_{\otimes} \overset{(1)}{=} (e_{\otimes} \circ e_{\circ})\otimes (e_{\circ} \circ e_{\otimes}) \overset{(2)}{=} (e_{\otimes} \otimes e_{\circ}) \circ (e_{\circ} \otimes e_{\otimes}) \overset{(1)}{=} e_{\circ} \circ e_{\circ} \overset{(1)}{=} e_{\circ} \)
Damit folgt \(\forall a, \ b\in X: a\otimes b \overset{(1)}{=} (a\circ e_{\circ}) \otimes (e_{\circ} \circ b) \overset{(2)}{=} (a\otimes e_{\circ})\circ (e_{\circ} \otimes b) \overset{e_{\circ} = e_{\otimes}}{=} (a\otimes e_{\otimes})\circ (e_{\otimes} \otimes b) \overset{(1)}{=} a\circ b\)
und die beiden Verknüpfungen stimmen überein.
Es genügt aufgrund der Übereinstimmung Kommutativität und Assoziativität für eine der beiden Verknüpfungen nachzuweisen.
Damit folgt \(\forall a, \ b\in X: a\circ b \overset{(1)}{=} (e_{\otimes} \otimes a) \circ (b\otimes e_{\otimes}) \overset{(2)}{=} (e_{\otimes} \circ b) \otimes (a\circ e_{\otimes}) \overset{e_{\otimes} = e_{\circ}}{=} (e_{\circ} \circ b) \otimes (a\circ e_{\circ}) \overset{(1)}{=} b\otimes a \overset{\otimes = \circ}{=} b\circ a \)
für die Kommutativität.
Die Assoziativität überlasse ich dann dir zum eigenständigen Verstehen.
