Eine dreieckige Fläche (a=60 m; b=20 m) soll rechteckig bebaut werden, was ist der maximale Flächeninhalt?

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen hat ein dreieckiges Grundstück in der Innenstadt erworben und möchte es bebauen. Den Zuschlag erhielt ein Bauentwurf, der für das neue Gebäude einen rechteckigen Grundriss vorsieht. Welche Grundfläche kann das
Gebäude maximal haben?

(Ich kann die Skizze leider nicht einscannen, aber die lange Kathete ist 60 m lang und die kurze Kathete 20 m)

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass ich leider gar keinen Ansatz finde, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll! Es wäre echt freundlich, wenn mir jemand vielleicht einen kleinen "Schubs" in die Richtung geben könnte :)

Answer 1

Mache die eine Skizze

Die Funktion lautet

f(x) = 20 - 20/60·x = 20 - 1/3·x

Die Flache lautet

A(x) = x·f(x)
A(x) = x·(20 - 1/3·x) = 20·x - 1/3·x^2
A'(x) = 20 - 2/3·x = 0 -->  x = 30

f(30) = 20 - 1/3·30 = 10

Das Gebäude hat einen Grundriss von 30 m x 10 m und damit eine Grundfläche von 300 m².

Comments

Achso, vielen Dank :))

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kleiner Fehler
A(x) = 1/2·x·f(x)
die Rechteckfläche ist
A(x) = x * f(x)

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Danke georgborn für die Korrektur.

Ich habe das oben verbessert.

Answer 2

Wichtig ist, dass die Seiten halbiert werden dann halbierst du entweder a und b oder du halbierst die Hypotenusenabschnitte und die Höhe darauf.

Immer wird 300 m^2 rauskommen.

Die Punkte (30; 0) (0;10) markieren im ersten Fall die Diagonale des Rechtecks und die Seiten liegen parallel zu den Achsen im zweiten Fall markieren die genannten Punkte eine Seite das Rechtecks, die zweite Seite verläuft dazu senkrecht bis zur Schräge.(Hypotenuse)

Warum ist das so?

f(x)= b-(b/a)x

G(x)=bx-(b/a)x^2

G'(x)= b -(2b/a)x=0

x= a/2  → y=b/2

Daran ändert sich auch nichts, wenn du das Rechteck parallel zur Hypotenuse ausrichtest, du bekommst dann etwas andere Werte für das Rechteck, doch die Fläche bleibt 300 m^2

(≈31,623 m × ≈9,487 m)