Kurvendiskussion von Funktionsscharen

Question

Aufgabe:

Führen Sie eine Kurvendiskussion der Kurvenschar fa durch.

fa(x) = x^3 - ax

Problem/Ansatz:

1. Ableiten

  1.1 f'a(x) = 3x^2 - a

  1. 2 f''a(x) = 6x

  1. 3 f'''a(x) = 6

2. Symmetrie

Punktsymmetrisch, da alle Exponente ungerade sind. → f(x) = - f(-x)

x^3 - ax = - (-x^3) + a (-x)

x^3 - ax = x^3 - ax

3. Extrema

1. Bedingung: f'(x) = 0; 2. Bedingung: f''(x) ungleich 0

3x^2 - a = 0

x1,x2 = sqr(a/3)

f''(sqr(a/3)) = 6 * (sqr(a/3)) > 0 → T

f(sqr(a/3)) = (sqr(a/3)) - a * (sqr(a/3)) → Wie vereinfache ich diesen Teil?

4. Wendepunkte

1. Bedingung: f''(x) = 0; 2. Bedingung: f'''(x) ungleich 0.

Liebe Freunde, stimmen meine Lösungen bis hierhin?

Answer 1

Hallo

alles richtig, in f'' +√a/3 und -√a/3 einsetzen, um max und Min zu finden,  (für a<0 existiert keine waagerechte Tangente. )

da du ja Punktsymmetrie hattest MUSS  es ein max UND  ein min geben, und 0 muss Wendepunkt sein!

f(√a/3) :  a*√a/3 ausklammern

also nur die negative wurzel vergessen, Wendepunkt steht nicht da, sonst richtig.

(aber eigentlich kannst du so was selbst nachprüfen, indem du es dir für das eine oder andere a plotten lässt)

Gruß lul

Answer 2

√(a/3) = 1/3·√3·√a

Beachte das es zwei Lösungen gibt die sich im Vorzeichen unterscheiden. Aber wir brauchen eh nur für x >= 0 untersuchen da durch die Punktsymmetrie das verhalten für x < 0 dann klar ist.

f(1/3·√3·√a) = (1/3·√3·√a)^3 - a·(1/3·√3·√a)
f(1/3·√3·√a) = 1/27·3·√3·a·√a - 1/3·√3·a·√a
f(1/3·√3·√a) = (1/9 - 1/3)·√3·a·√a
f(1/3·√3·√a) = -2/9·√3·a·√a