Funktionsscharen Kurvendiskussion und etc.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionsschar fa(x) = ax^2+x

a.) Bestimmten Sie Nullstellen und die Scheitelpunkte der Parabelschar. Skizzieren Sie die Graphen für a = +-1, a = +-0.5, a =+- 0.25.

b.) Zeigen Sie, dass die Scheitelpunkte der Schar auf einer Geraden liegen.

c.) Weisen Sie nach, dass alle Scharkurven die x-Achse im gleichen Winkel schneiden.

d.) Für welches a verläuft der Graph durch den Punkt P(3/15)?

e.) Für welches a besitzt der Graph der Funktion eien Tangente mit der Gleichung y = 5x - 2 ?

Problem/Ansatz:

a.)

ax^2+x = 0

x(ax+1)=0

x1=0

ax+1=0

x2=-1/a

S(0/0) für a = 2, 3.

b.)

a1 = 0.5; a2 = 0.25

0.5x^2+x = 0.25x^2+x

x1,2 = 0. → Ich habe hier versucht einen Schnittpunkt zu berechnen, da ich nicht weiss wie ich das ganze auf eine Gerade überprüfe.

c.) Hier habe ich komplett keine Ahnung, wie überhaupt anfangen.

d.)

fa(x)=ax^2+x

P(3/15)

15 = 9a+3

4/3 = a

e.)

fa(x)=ax^2+x

5x+2 = ax^2+x

Irgendein P(3/2) → Darf ich das?

2 = 9a - 14

16/9 = a

Liebe Leute

Ich bitte euch, meine Lösungen auf Fehler durchzuschauen und mögliche Ansatze zu geben. Danke euch!

Answer 1

Gegeben ist die Funktionsschar fa(x) = ax^2+x

a.) Bestimmten Sie Nullstellen und die Scheitelpunkte der Parabelschar. Skizzieren Sie die Graphen für a = +-1, a = +-0.5, a =+- 0.25.
Deine Nullstellen stimmen.
Scheitelpunkt
f ´( x ) = 2ax + 1
2ax + 1 = 0
x = -1/(2a)

b.) Zeigen Sie, dass die Scheitelpunkte der Schar auf einer
Geraden liegen.
x = -1/(2a) =>  a = -1/(2x);
y = f ( -1/(2a) ) = -1/(4a)
ort ( x ) =   -1/(4 * -1/(2x) )
ort (x ) = x / 2

ort ist eine Gerade

Comments

c.) Weisen Sie nach, dass alle Scharkurven die x-Achse im gleichen Winkel schneiden.

Nullpunkte
fa ( x ) = ax^2+x = 0
x = 0
f ´( x ) = 2ax + 1
f ´ ( 0 ) =  1
Unabhängig von a ist die Steigung
an der Stelle für alle Kurven =
45 °

2.Nullstelle
x = -1/a
f ´( - 1 / ( a ) = 2 * a * (-1/a ) + 1
f ´( - 1 / a ) =  2 * (-1) + 1
f ´( - 1 / ( a) ) =  -1
- 45 °

bei 0 ist der Winkel 45 °
bei - 1/ a ist der Winkel - 45 °
Der Winkel bei beiden Nullstellen ist
nicht gleich.

d.) Für welches a verläuft der Graph durch den Punkt P(3/15)?
fa ( x ) = ax^2 + x
f ( 3 ) = a * 3^2 + 3 = 15
a = 4 / 3

e.) Für welches a besitzt der Graph der Funktion eien Tangente mit der Gleichung y = 5x - 2 ?

Steigung der Tangente = 5
f ´ ( x ) = 2a*x = 5
a = 5 / ( 2x )
Berührpunkt
t ( x ) = f ( x )
5x - 2 = a * x^2 + 1
a einsetzen
5x - 2 = 5/(2*x) * x^2 + 1
x = 6/5
a = 5 / ( 2 * 6/5 )
a = 25 / 12

Answer 2

Hallo,

a.) Bestimmten Sie Nullstellen und die Scheitelpunkte der Parabelschar.

Die Nullstellen hast du richtig berechnet. Aber ich weiß nicht, was du bei dem Scheitelpunkt gerechnet hast.

Du solltest die 1. Ableitung bilden, = 0 setzen und nach x in Abhängigkeit von a auflösen. Das Ergebnis setzt du in die Ausgangsgleichung ein, um die y-Koordinate des Scheitelpunktes zu bestimmen.

Mach das mal, ich ergänze meine Antwort in der Zeit zu den anderen Punkten.

Comments

b.) Zeigen Sie, dass die Scheitelpunkte der Schar auf einer Geraden liegen.

Du sollst die Ortskurve der Extrempunkte bestimmen, indem du den x-Wert des Scheitelpunktes nach a umstellst. Das Ergebnis setzt du in die y-Koordinate ein und erhältst damit die Ortskurve bzw. hier die Gleichung der Geraden.

c.) Weisen Sie nach, dass alle Scharkurven die x-Achse im gleichen Winkel schneiden.

Steigungswinkel: \(f'(x)=tan(\alpha)\)

Wähle eine der Nullstellen, z.B. x = 0

f'(0) = 1

\(\alpha=tan^{-1}(1)=45°\)

Wegen der Achsensymmetrie gilt das Gleiche für die andere Nullstelle.

d.) Für welches a verläuft der Graph durch den Punkt P(3/15)?

richtig

e.) Für welches a besitzt der Graph der Funktion eine Tangente mit der Gleichung y = 5x - 2 ?

f'(x) = 5

Löse diese Gleichung nach x auf. Setzte das Ergebnis in die Ausgangsgleichung ein, um die y-Koordinate des Punktes zu bestimmen. (Zur Kontrolle: \(P(\frac{2}{a}|\frac{6}{a})\)

Setze die Koordinaten des Punktes in die Tangentengleichung ein und löse nach a auf.

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Okay, das werde ich machen. Vielen Dank!