a) Die begrenzende Kurve geht (s. Zeichnung) durch
die Punkte (1;0) und (4; 7,5)
Beide in \( f(x)=a-\frac{b}{x^{2}} \) eingesetzt gibt
\( 0 = a - \frac{b}{1} \) und \( 7,5=a-\frac{b}{16} \)
\( b= a\) und \( 7,5=b-\frac{b}{16} \)
\( b= a\) und \( 120=16b-b \)
\( b= a\) und \( 120=15b \)
\( b= a\) und \( 8=b \).
b) Neigung 45° bedeutet Steigung = 1
\( f(x)=8-\frac{8}{x^{2}} \) ==> \( f ' (x)=\frac{16}{x^{3}} \)
also f ' (x) = 1. ==> \( 1=\frac{16}{x^{3}} \)
==> x^3 = 16
==> x = 3.Wurzel aus 16
und f(3.Wurzel aus 16) ≈ 4,83 .
Also in 4,83m Höhe.
c) Der Kegel ist ja in seinem Querschnitt das hellblaue Dreieck.
Die obere Linie ist 4m lang (wegen 4m breit).
Die Endpunkte bekommst du durch f(2)=6 Also der rechte
ist (2;6). Dort die Tangente bekommst mit der Steigung
\( f ' (2)=\frac{16}{8} = 2\). Also Tangentengleichung:
y=2x + n und wegn (2;6) liefert
6 = 2*2+n den Wert n = 2
Also 1. Mantellinie ist die Tangente mit y = 2x+2.
Wegen der Symmetrie die 2. ist y=-2x+2.
Damit hat der Kegel den Grundkreisradius r=2m (s.o. Breite 4)
und die Höhe 6m-2m=4m . Also mit \( V=\frac{1}{3}r^2 \cdot h \) das
Volumen ausrechnen.
d) obere Rand ist bei x=4 bzw. x=-4.
Das Gefälle bei -4 liefert \( f ' (-4)=\frac{16}{-64} =-0,25 \).
Also hat man am Rand ein Gefälle bzw. eine Steigung von 25%.
Maximale Steilheit wird bei x=1 erreicht, weil
\( f ' (x)=\frac{16}{x^{3}} \) für x≥1
die Gleichung einer streng monoton fallenden Funktion ist:
Je größer x ist, desto größer der Nenner also desto kleiner
der Wert des Bruches.
Kannst auch argumentieren mit: 2.Ableitung ist für x≥1 negativ.
