Aloha :)
Der Fluss \(\phi\) einer Flüssigkeit durch eine Fläche gibt an, wie viel Volumen \(V\) der Flüssigkeit pro Zeiteinheit durch eine Fläche fließt.$$\phi=\frac{dV}{dt}$$Wenn eine Flüssigkeit mit dem Tempo \(v=\frac{ds}{dt}\) senkrecht auf eine Fläche \(A_\perp\) trifft, können wir den Term umformen:$$Q=\frac{dV}{dt}=\frac{d(A_\perp\cdot s)}{dt}=\frac{A_\perp\,ds}{dt}=A_\perp\cdot\frac{ds}{dt}=A_\perp\cdot v$$
Mit dem normierten Normalenvektor \(\vec n\) der Fläche \(A\) lautet dies vektoriell:$$\pink{\phi=A\cdot\vec n\cdot\vec v}$$
Damit sollte unser Vorgehen klar sein...
Hier ist uns das Tempo \(v=5\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\) und die Fließrichtung \((1;1;-1)^T\) der Flüssigkeit bekannt. Wir kennen also den Geschwindigkeitsvektor$$\vec v=\frac{5}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$
Von den beiden Rechteckflächen \(ABCD\) und \(CDEF\) brauchen wir Betrag und Normalenvektor. Wir glauben dem Aufgabensteller, dass die genannten Eckpunkte tatsächlich Rechtecke defnieren und bestimmen direkt die zugehörigen Werte:$$A_1\cdot\vec n_1=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-4\\16\end{pmatrix}$$$$A_2\cdot\vec n_2=\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{CF}=\begin{pmatrix}-4\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\16\\0\end{pmatrix}$$
Das setzen wir zum gesuchten Fluss zusammen:$$\phi=\left(A_1\vec n_1+A_2\vec n_2\right)\cdot\vec v=\begin{pmatrix}0\\12\\16\end{pmatrix}\cdot\frac{5}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\frac{5}{\sqrt3}(12+16)=\frac{140}{\sqrt3}\approx80,83$$Es fließen also \(80,83\,\mathrm{m^3}\) Flüssigkeit pro Sekunde durch die geknickte Fläche.
