Berechnungen zu komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

folgende Rechenoperationen mit komplexen Zahlen durchführen:

1) vierte Potenz:  z=2*(cos125° + j*sin125°)

2) dritte Wurzel: z=3e^3j

3) Logarithmus: z=5e^5,3j

4) dritte Potenz: z=2+2j

Problem/Ansatz:

suche Ergebnisse mit Lösungsweg zum vergleichen ( bei 1 und 4 habe ich Ergebnisse, bei den anderen beiden nicht)

Comments

Wenn Du Ergebnisse hast, dann ja auch einen Rechenweg. Las uns doch teilhaben an Deinem Wissen.

Answer 1

Zum Vergleich

$$1) vierte Potenz:$$$$z=2*(cos125° + j*sin125°)$$$$z^4=$$$$16*(cos500° +j*sin 500°)$$$$z^4=$$$$16*(cos140° +j*sin 140°)$$

2) dritte Wurzel: z=3e3j

Hier gibt es ja nichts zum Vergleichen

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komp…

3) Logarithmus: z=5e5,3j
Hier gibt es auch nichts zum Vergleichen
ln(a*b)= ln (a) + ln (b)

ln(e^c)=c

$$4) dritte Potenz: z=2+2j$$$$z^3=(2* \sqrt{2} )^3*$$$$(cos405° + j*sin405°)$$$$z^3=$$$$(16* \sqrt{2} *(cos45° + j*sin45°)$$

Answer 2

Aloha :)

Aufgabe 1:$$z^4=[2\cdot(\cos125^\circ+i\,\sin125^\circ)]^4=[2\cdot \mathrm e^{i\,125^\circ}]^4=2^4\cdot \mathrm e^{(i\,125^\circ)\cdot4}=16\mathrm e^{i\,500^\circ}$$$$\phantom{z^4}=16\mathrm e^{i\,140^\circ}=16(\cos140^\circ+i\sin140^\circ)$$

Aufgabe 2:$$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{3\mathrm e^{3i}}=\sqrt[3]{3\mathrm e^{i(3+2\pi\cdot n)}}=\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{\mathrm e^{i(3+2\pi\cdot n)}}=\sqrt[3]{3}\cdot\mathrm e^{i\frac{3+2\pi\cdot n}{3}}=\sqrt[3]{3}\mathrm e^{i\frac{2\pi\cdot n}{3}}\cdot\mathrm e^i$$$$\phantom{\sqrt[3]{z}}=\sqrt[3]{3\mathrm e^{i2\pi\cdot n}}\cdot\mathrm e^i=\sqrt[3]{3}\cdot\mathrm e^i$$Hinweis: $\sqrt[3]{3\mathrm e^{3i}}$ ist etwas anderes als die Lösung der Gleichung $z^3=3\mathrm e^{3i}$. Im zweiten Falle müsstest du als Ergebnis hinschreiben:$$\sqrt[3]{z}=\left\{\begin{array}{r}\sqrt[3]{3}\cdot\mathrm e^{i}\\(-1)^{2/3}\sqrt[3]{3}\cdot\mathrm e^{i}\\-\sqrt[3]{-3}\cdot\mathrm e^{i}\end{array}\right.$$

Aufgabe 3:$$\ln z=\ln\left(5\mathrm e^{5,3i}\right)=\ln5+\ln\left(\mathrm e^{5,3i}\right)=\ln5+5,3i\ln\left(\mathrm e\right)=\ln5+5,3i$$Wegen $e^{5,3i}=e^{i(5,3+2\pi\cdot n)}$ ist die Lösung nicht eindeutig. Du kannst hier beim Imaginärteil der Lösung beliebig oft $2\pi$ addieren oder subtrahieren.

Aufgabe 4:$$z^3=(2+2i)^3=2^3(1+i)^3=8(1^3+3i+3i^2+i^3)=8(1+3i-3-i)$$$$\phantom{z^3}=8(-2+2i)=-16+16i$$