Hallo Pit,
Für die Quersumme QS(n) gilt QS(n) = p1
Ein Produkt von zwei zweistelligen Zahlen ist höchstens vierstellig. Die maximal denkbare Quersumme einer 4-stelligen Zahl ist 36. Also muss auch \(p_1 \lt 36\) gelten.
Die Einerstellen von p1und p2 sind einander gleich. Auch (p1+6) und (p2-6) sind Zweistellige Primzahlen.
Primzahlen können nur auf 1, 3, 7 oder 9 enden. Die 1 und die 9 entfallen, da bei Subtraktion bzw. Addition von 6 eine durch 5 teilbare Zahl entsteht.
Jetzt kann man noch den Rest bei der Division durch 3 betrachten. Es gilt $$ \text{QS}(n) \equiv n \mod 3 $$Demnach ist mit$$\begin{aligned} p_1 &\equiv r_1 \mod 3 \\ p_2 &\equiv r_2 \mod3 \\ \text{QS}(p_1 \cdot p_2) &\equiv r_1 \cdot r_2 \mod 3 \end{aligned}$$Beginne ich also mit der 13 - als kleinstes \(p_1\) was in Frage käme, so ist $$13 \equiv 1 \mod 3 $$so muss $$p_2 \equiv 1 \mod 3$$ sein, sonst hätte die Quersumme einen anderen Module und wäre nicht gleich.
Es kommen also nur die Paare (13, 43) und (13, 73) in Betracht - beides Fehleranzeige. Weiter mit \( p_1 = 23\) führt mit der gleichen Überlegung zu den Paarungen (23, 53) und (23, 83) - ebenfalls Fehlanzeige.
Jetzt versuche es mal mit \(p_1 = 17\), die einzige Primzahl die auf 7 endet und kleiner als 36 ist. Es gibt nur drei mögliche Paarungen, eine davon ist die Lösung ;-)
