Eine Konstruktion des geometrischen Mittels

Question

Zwei Kreise mit den Durchmessern d und D berühren sich von außen. Eine gemeinsame Tangente berührt den einen Kreis in A und den anderen in B (A≠B). x=|$\overline{AB}$|. Zeige: x ist das geometrische Mittel von d und D.

Answer 1

Die Radien der Kreise seien R und r und werden vom jeweiligen Kreismittelpunkt aus zu dem Berührungspunkt A bzw. B gezeichnet. Die Verbindungsstrecke beider Mittelpunkte und eine Parallele zu AB durch den Mittelpunkt des kleineren Kreises erzeugen ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen x und R-r und der Hypotenusenlänge R+r.

Aus (R+r)²=x²+(R-r)² folgt durch Umstellen x²=4Rr mit 4Rr=2R*2r=D*d.

Comments

Kleiner Schreibfehler: (R+r)²=x²+(R-r)² .

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Danke, habe es korrigiert.

Answer 2

Hallo Roland,

es folgt der Versuch eines geometrischen Beweises für das geometrische Mittel $|AB| = \sqrt{d \cdot D}$.

$M_a$ und $M_b$ seien die Mittelpunkte der beiden Kreise mit Durchmesser $d=2r_a$ und $D=2r_b$. Es sei $T$ der gemeinsame Berührpunkt der Kreise und $h$ (grün) die gemeinsame Tangente durch $T$. $h$ schneidet die Tangente durch $AB$ in $P$. Da die Vierecke $TPAM_a$ und $TM_bBP$ Drachenvierecke sind, ist $$|AP| = |TP| = |BP| \implies |AP| = |BP| = \frac 12 |AB|$$Der Punkt $P$ ist also die Mitte der Strecke $\overline{AB}$.

Die Mittelparallele $m$ (rot gestrichelt) halbiert die Strecken $\overline{M_aM_b}$ in $M$ und $\overline{AB}$ in $P$. Da $|MP|$ und $|MM_a|$ jeweils das arithmetische Mittel von $r_a$ und $r_b$ sind, muss gelten $$|MP| = |MM_a|$$Also liegt $P$ auch auf dem Thaleskreis (rot) über $\overline{M_aM_b}$. Da $h$ (grün) senkrecht auf $\overline{M_aM_b}$ (schwarz gestrichelt) steht, ist $T$ auch der Höhenfußpunkt von $P$ im rechtwinkligen Dreieck $\triangle M_aM_bP$.

Nach dem Höhensatz ist $|TP| = \frac 12 |AB|$ das geometrische Mittel der beiden Hypotenusenabschnitte $|M_aT| = r_a = d/2$ und $|TM_b| = r_b = D/2$. Und damit gilt auch bei Verdoppelung der Strecken: $$|AB| = \sqrt{ d \cdot D}$$ Gruß Werner

Answer 3

$$x^2= (\frac{D}{2}+\frac{d}{2}) ^{2} -(\frac{D}{2} - \frac{d}{2}) ^{2}$$$$x^2=Dd$$$$x= \sqrt{Dd}$$