Eine Konstruktion des geometrischen Mittels

Question

Zwei Kreise mit den Durchmessern d und D berühren sich von außen. Eine gemeinsame Tangente berührt den einen Kreis in A und den anderen in B (A≠B). x=|\( \overline{AB} \)|. Zeige: x ist das geometrische Mittel von d und D.

Answer 1

Die Radien der Kreise seien R und r und werden vom jeweiligen Kreismittelpunkt aus zu dem Berührungspunkt A bzw. B gezeichnet. Die Verbindungsstrecke beider Mittelpunkte und eine Parallele zu AB durch den Mittelpunkt des kleineren Kreises erzeugen ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen x und R-r und der Hypotenusenlänge R+r.

Aus (R+r)²=x²+(R-r)² folgt durch Umstellen x²=4Rr mit 4Rr=2R*2r=D*d.

Comments

Kleiner Schreibfehler: (R+r)²=x²+(R-r)² .

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Danke, habe es korrigiert.

Answer 2

Hallo Roland,

es folgt der Versuch eines geometrischen Beweises für das geometrische Mittel \(|AB| = \sqrt{d \cdot D}\).

\(M_a\) und \(M_b\) seien die Mittelpunkte der beiden Kreise mit Durchmesser \(d=2r_a\) und \(D=2r_b\). Es sei \(T\) der gemeinsame Berührpunkt der Kreise und \(h\) (grün) die gemeinsame Tangente durch \(T\). \(h\) schneidet die Tangente durch \(AB\) in \(P\). Da die Vierecke \(TPAM_a\) und \(TM_bBP\) Drachenvierecke sind, ist $$|AP| = |TP| = |BP| \implies |AP| = |BP| = \frac 12 |AB|$$Der Punkt \(P\) ist also die Mitte der Strecke \(\overline{AB}\).

Die Mittelparallele \(m\) (rot gestrichelt) halbiert die Strecken \(\overline{M_aM_b}\) in \(M\) und \(\overline{AB}\) in \(P\). Da \(|MP|\) und \(|MM_a|\) jeweils das arithmetische Mittel von \(r_a\) und \(r_b\) sind, muss gelten $$|MP| = |MM_a|$$Also liegt \(P\) auch auf dem Thaleskreis (rot) über \(\overline{M_aM_b}\). Da \(h\) (grün) senkrecht auf \(\overline{M_aM_b}\) (schwarz gestrichelt) steht, ist \(T\) auch der Höhenfußpunkt von \(P\) im rechtwinkligen Dreieck \(\triangle M_aM_bP\).

Nach dem Höhensatz ist \(|TP| = \frac 12 |AB|\) das geometrische Mittel der beiden Hypotenusenabschnitte \(|M_aT| = r_a = d/2\) und \(|TM_b| = r_b = D/2\). Und damit gilt auch bei Verdoppelung der Strecken: $$|AB| = \sqrt{ d \cdot D}$$ Gruß Werner

Answer 3

$$x^2=  (\frac{D}{2}+\frac{d}{2}) ^{2} -(\frac{D}{2} - \frac{d}{2}) ^{2}$$$$x^2=Dd$$$$x= \sqrt{Dd} $$