Was ist die Lösung und in Betragstrichen?

Question

Aufgabe:

sqrt{x^2}×sqrt{3x}×sqrt{12y}

Problem/Ansatz:

Was ist die Lösung und in Betragstrichen?

Answer 1

√(x^2)·√(3·x)·√(12·y) = √(36·x^3·y) = 6·x·√(x·y) mit x, y ≥ 0

Comments

Y muss doch auch größer als Null sein.

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y kann auch genau 0 sein oder nicht ?

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Ja aber y darf nicht im negativen Bereich sein da die Wurzel sonst undefinierbar wäre.

Müssen X und Y größer oder gleich Null sein?

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Ja das steht doch bei mir dahinter

x, y ≥ 0

x und y müssen größer oder gleich 0 sein.

Answer 2

Aloha :)

Damit \(\sqrt{3x}\) und \(\sqrt{12y}\) überhaupt definiert sind, muss \(x\ge0\) und \(y\ge0\) gelten. Daher können wir die Betragsstriche um \(x\) und \(y\) weglassen:$$\underbrace{\sqrt{x^2}}_{=x}\cdot\underbrace{\sqrt{3x}}_{=\sqrt3\cdot\sqrt x}\cdot\underbrace{\sqrt{12y}}_{=\sqrt{12}\cdot\sqrt y}=x\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt x\cdot\sqrt{12}\cdot\sqrt y$$$$=\sqrt3\cdot\sqrt{12}\cdot x\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt y=\sqrt{3\cdot12}\cdot x\cdot\sqrt{x\cdot y}=\sqrt{36}x\sqrt{xy}=6x\sqrt{xy}$$

Comments

Stimmt das Ergebnis?

6x sqrt{xy} (für x>0) (für y>0)

Gibt es noch ein Ergebnis mit Betragstrichen nein oder?

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Du brauchst keine Betragsstrichte zu setzen, weil \(x\) und \(y\) größer oder gleich null sein müssen, damit die Wurzeln ganz am Anfang überhaupt definiert sind. Wenn du dich damit wohler fühlst, kannst du aber auch gerne noch Betragsstriche um die Varialen setzen:$$6|x|\sqrt{|xy|}$$

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Aber man kann ja eh keine negativen Sachen einsetzen weil die Wurzeln sonst undefinierbar und nicht ausrechenbar sind oder?

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Genau! Negative "Sachen" unter Wurzeln sind verboten, daher müssen \(x\) und \(y\) beide \(\ge0\) sein und du kannst die Betragszeichen einfach weglassen.

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Der Term unter der Wurzel muss größer gleich \(0\) sein, deshalb brauchst du hier keine Betragsstriche. Denn \(x,y\) müssen selbst größer gleich \(0\) sein, damit die Wurzel größer gleich \(0\) ist.