Was ist das Ergebnis und wird dieses in Betragstrichen geschrieben?

Question

Aufgabe:

Ich bin in der 9.Klasse und wir behandeln gerade das Thema Wurzeln. Wir schreiben in ungefähr 2 Wochen unsere Arbeit. Bei dieser Aufgabe soll man vereinfachen. Es geht hierbei auch um Betragstriche mit Wurzeln.

Aufgabe:

sqrt{(3r)^2)} also
Problem/Ansatz:

Was ist das Eegebniss und wird dieses in Betragstrichen geschrieben?

Answer 1

Hallo,

$$\sqrt{(3r)^2}=3\cdot \sqrt{r^2}=3\lvert r\rvert$$

Die Betragsstriche sind wichtig: Ist zum Beispiel \(r=-3\), dann haben wir \(\sqrt{(-9)^2}=\sqrt{81}=9\). Wenn du jetzt die Betragsstriche weglassen würdest und \(r=-3\) in deine rechte Seite einsetzt, wären beide Seiten nicht mehr gleich: \(3r=3\cdot (-3)= -9\) und das ist offensichtlich ungleich zu \(9\).

Comments

Warum werden dort genau Betragstriche gesetzt?

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Allgemein wann verwendet man bei wurzeln Betragstriche.

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Das liegt daran, dass wir nicht genau wissen, ob \(r\) positiv oder negativ ist. So kann \(\sqrt{(3r)^2}=\lvert 3r\rvert = \lvert -3r \rvert = \sqrt{(-3r)^2}\) sein. Wenn wir wissen, dass \(r>0\) ist, können wir die Betragsstriche weglassen.

Ist zum Beispiel \(r=-3\), dann haben wir \(\sqrt{(-9)^2}=\sqrt{81}=9\) Wenn du jetzt die Betragsstriche weglassen würdest, wäre es falsch: \(3r=3\cdot -3= -9\) und das stimmt ja nicht!

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In beiden Fällen würde doch aber ein positives Ergebnis herauskommen.

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Wir haben die Gleichung $$\sqrt{(3r)^2}=3r$$ Diese stimmt aber nicht, wenn z.B. \(r=-3\) ist:

$$\sqrt{(3\cdot (-3))^2}=\sqrt{(-9)^2}=\sqrt{81}=9 \text{ aber } 3\cdot (-3)=-9$$. \(-9\neq 9\) und demnach sind beide Seiten nicht gleich, also es ist \(\sqrt{(3r)^2}\neq 3r \), wenn \(r\) eine beliebige, reelle Zahl ist. Daher müssen wir den Betragsstrich einführen. Denn dann gilt die Gleichung für alle beliebige Zahlen \(r\) aus den reellen Zahlen.

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Man muss  bei 3×-3=-9 doch noch die Potenz von -9 nehmen

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Du hast ein Gleichungssystem. Die beiden Terme auf der linken und rechten Seite müssen also für jedes beliebige \(r\) gleich sein. Das stimmt aber nicht für negative \(r\). Deshalb müssen wir die Betragsstriche setzen:

\(\sqrt{(3r)^2}\neq 3r\) wenn \(r\) negativ ist. Für positive \(r\) gilt aber \(\sqrt{(3r)^2}= 3r\). Dann bräuchtest du keinen Betrag.
Nun ist aber in deinem Fall \(r\) beliebig, also kann positive und negative Werte annehmen. Deshalb brauchen wir eben den Betragsstrich.

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Die aufgabe war doch es zu vereinfachen oder wie kann man die rechte Seite des terms wissen. Vereinfacht man den Term aber merkt das die beiden Therme ungleich sind und fügt dann die Betragstriche ein?

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Wenn du einen Term vereinfachst, ist er noch gleich zum vorigen Ausdruck. Du schreibst ihn einfach nur um. Deshalb müssen beide Seiten trotzdem gleich sein. Daher können wir auch das "=" bei richtigen Umformungen benutzen.

Es war nur zur Veranschaulichung, damit du verstehst, warum wir hier die Betragsstriche brauchen. Merke dir einfach, dass beim Wurzelziehen niemals negative Werte rauskommen können, weil aber in diesem Fall \(r\) beliebig war, müssen wir die Betragsstriche setzen.

Merke dir auch, dass für jede reelle Zahl \(x\) ihr Quadrat \(x^2\) positiv ist, auch wenn es \(x\) nicht war.

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Hab es verstanden vielen Dank

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Gern geschehen!

Answer 2

\(\sqrt{(3r)^2}=\lvert3r|=|3|\cdot|r|=3\cdot |r|\)

Da r auch negativ sein kann, die Quadratwurzel aber positiv ist, müssen Betragsstriche gesetzt werden.

Wenn in der Aufgabenstellung vorausgesetzt wird, dass r nicht negativ ist, darf man den Betrag weglassen.

:-)

Comments

Also in jedem Falle wird ja ein positives Ergebnis herauskommen. Geht es nur darum ob man für r etwas positives und negatives einsetzen kann?

z.B

1: bei einer variable x kann man etwas negatives und positives einsetzen, das heißt man setzt das Ergebnis später in Betragstriche.

2: Man kann für x nur eine negative oder positive Zahl einsetzen da die Wurzel sonst undefinierbar wäre. Man setzt keine Betragstriche und muss eine Bedingung angeben (x>0) (x<0)

Stimmt das?

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Man setzt die Betragsstriche, wenn es zu einem Widerspruch kommen könnte.

Bei deiner anderen Aufgabe sind sie ja nicht nötig.

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Was ist mit Widerspruch gemeint. Kann mir jemand mal ein Besipiel für Betragstriche und für keine Betragstriche geben?

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Setze r=-2.

3r=-6

(3r)^2=36

\(\sqrt{36}=+6=|-6|=|3r|\ne 3r=-6\)

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Beispiel für keine Betragsstriche bei deiner anderen Aufgabe.

Answer 3

Es geht darum das richtige Ergebnis zu finden
bei dem zuerst ein Ausdruck quadriert und dann
die Wurzel gezogen werden soll.

Ein einfaches Beispiel
√ ( x - 4 )^2 = 3  => x = 7
√ ( 7 - 4 )^2 = √ ( 3 )^2 = 3 
Es geht aber auch
√ ( x - 4 )^2 => x = 1
√ ( 1- 4 )^2 = √ ( -3 )^2 = 3
Die Lösung in Betragsstrichen
| x - 4 | = 3
falls x - 4 ≥ 0 ist dann gilt | x - 4 | = x - 4
x - 4 = 3  => x = 7
falls x - 4 < 0 ist dann gilt | x - 4 | = -1 * ( x - 4 )
-x + 4 = 3
x - 4 =  -3
x = 1

Merken
√ term ^2 = | term |

Comments

Woher weißt du das auf der rechten Seite des terms eine drei stehen muss. In der Aufgabe ist ja nur eine Seite vorgegeben

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Ok das habe ich verstanden. Aber wie kann man ermitteln was auf der rechten Seite setht

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Das ist nicht deine Aufgabe sondern ein Beispiel.

Es gilt allgemein

Merken
√ (term)^2 = | term |

in deiner Aufgabe

√ (3r)^2 => | 3r |

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Also muss man bei meiner Aufgabe noch erst vereinfachen also das Ergebnis berechnen und dann erst die Betragstriche setzten?

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Ok das habe ich verstanden. Aber wie kann man ermitteln was auf der rechten Seite setht
Gar nicht.
Dies ist keine Gleichung sondern nur ein
Term den man vereinfachend schreiben kann.

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Du brauchst nur anwenden
√ (3r)^2 = | 3r |
Mehr geht nicht.

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Ok aber wie wäre das z.B bei

-(sqrt{c})^2=-c^2

warum setzt man da keine Betragstriche

Darf man wenn man auf der linken Seite etwas positives einsetzt auf der anderen etwas negatives einsetzten?

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Dein Beispiel hast du falsch umgeformt

- ( √ c^2 ) = - | c |

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Aber die potenz steht außerhalb der KLammer du hast sie innerhalb gemacht!

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- ( √ c )^2
Definitionsbereich c ≥ 0
Dann kann die Wurzel gezogen werden

Es darf auch geschrieben werden
[  c hoch ( 1 / 2 ) ] hoch 2 = c
und dann noch das minus davor : - c

- ( √ c )^2  = - c

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Aber c^2 bleibt doch im Ergebnis auch c^2

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So. Jetzt ist Schluß.
Schau dir meine letzte Antwort noch einmal an.