Für welche x ist die Bedingung erfüllt?

Question

Aufgabe:

Für welche x ∈ ℝ ist die Bedingung erfüllt?

$$(x+3)x(x-4)(x^{2}-1)<0$$

Problem/Ansatz:

Habe alles ausmultipliziert aber das Ergebnis scheint nicht zu passen.

Bitte um Hilfe, danke im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Ich würde die Faktoren zunächst in der Reihenfolge sortieren, nach der sie negativ werden:$$\phantom{=}\; (x+3)x(x-4)(x^2-1)$$$$=(x+3)x(x-4)(x-1)(x+1)$$$$=(x+3)(x+1)x(x-1)(x-4)$$Nun stellen wir fest:

$$\qquad\;\; x<-3\;\Rightarrow\;\text{5 Faktoren sind negativ}\;\Rightarrow\;\text{Ergebnis }<0$$$$-3<x<-1\;\Rightarrow\;\text{4 Faktoren sind negativ}\;\Rightarrow\;\text{Ergebnis }>0$$$$-1<x<\phantom{-}0\;\Rightarrow\;\text{3 Faktoren sind negativ}\;\Rightarrow\;\text{Ergebnis }<0$$$$\phantom{-}0<x<\phantom{-}1\;\Rightarrow\;\text{2 Faktoren sind negativ}\;\Rightarrow\;\text{Ergebnis }>0$$$$\phantom{-}1<x<\phantom{-}4\;\Rightarrow\;\text{1 Faktor ist negativ}\qquad\Rightarrow\;\text{Ergebnis }<0$$$$\qquad\;\;\, x>\phantom{-}4\;\Rightarrow\;\text{0 Faktoren sind negativ}\;\Rightarrow\;\text{Ergebnis }>0$$Fassen wir zusammen, wann der Term negativ ist:$$x<-3\quad\lor\quad-1<x<0\quad\lor\quad1<x<4$$

~plot~ (x+3)*x*(x-4)*(x^2-1) ; [[-4|5|-150|50]] ~plot~

Answer 2

Die Ungleichung ist kleiner Null, wenn 1 oder 3 Faktoren kleiner Null sind.

Fallunterscheidung machen!

Answer 3

Hallo Ben,

Mit \((x+3)x(x-4)(x^{2}-1)<0\) hast Du auf der lnken Seite ein Polynom mit 5 Nullstellen. Es kommt keine Nullstelle doppelt vor, d.h. man kann davon ausgehen, dass mit jedem Übergang von \(x\) über eine Nullstelle ein Vorzzeichenwechsel geschieht. Dann sortiere die Nullstellen aufsteigend: $$x_{1,2,3,4,5} = \{-3,\, -1,\, 0,\, 1,\, 4\}$$Falls \(x \lt -3\) ist das Polynom \(\lt 0\) und die Ungleichung erfüllt. Mit jeder Nullstelle gibt es einen Wechsel - und mit diesen Informationen kann man die Lösung schon hinschreiben.

Die Ungleichung ist erfüllt wenn $$x \lt -3 $$ oder $$- 1 \lt x \lt 0 $$ oder $$ 1 \lt x \lt 4 $$und der Plot zur Kontrolle:

~plot~ (x+3)*x*(x-4)*(x^2-1);[[-6|7|-120|62]];-20*((x<-3)+((x>-1)*(x<0))+((x>1)*(x<4))) ~plot~

Comments

Besten Dank!!