Question

Wieso wird bei einer Menge einfach eine weitere Variable angegeben?

Z.B soll man eine Menge definieren, welche alle reellen Zahlen beinhaltet aber keine naturellen Zahlen.

Ich würde dann, so wie ich es gerade gelernt habe, schreiben:  
ℕ := {1,2,3,4,...}
M := {x ∈ ℝ | x ∉ ℕ} 

Richtig?

Wieso schreibt man kleiner_variable_name ∈ Menge Bedingung bzw. | ...

Was bringt es einem für den Bedingung Teil (nach |), eine Variable vorher zu definieren und zu sagen, dass diese ein Element in einer Menge ist?

Answer 1

Der vertikale Strich \(|\), manchmal auch \(:\), liest sich als "unter der Bedingung, dass". Du kennst das vielleicht aus der Schule von der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(A|B)\).

\(M=\{x\in \mathbb{R}\, | \, x\notin \mathbb{N}\}\) bedeutet, dass du zunächst alle \(x\) aus der Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) ansprichst. Aber unter der Bedingung, dass \(x\) keine natürliche Zahl \(\mathbb{N}\) ist.

Das heißt, dass z. B. Werte wie \(1,2,3,4,..\) keine Elemente der Menge \(M\) sind, aber beispielsweise \(3.5,\pi, -4,\frac{1}{4}\) schon. Was redundant wäre, wäre z. B. \(\{x\in \mathbb{R} \, | \, x\in \mathbb{N}\}\). denn jede natürliche Zahl ist sogleich eine reelle Zahl. Die Bedingung nach dem Trennstrich hat folglich einen restriktiven (einschränkenden) Charakter.

Answer 2

Was es bringt? Weil man die Menge eingrenzen will, weil man eben nicht alle Natürlichen Zahlen nehmen will, sondern die ungeraden  Zahlen. Oder die Quadratzahlen. Oder die Zahlen dürfen sich nur in einem Bereich befinden , dass kommt ganz auf dem Zusammenhang an. Oft werden auch alle Elemente aus R genommen , aber eine bestimmte wird ausgeschlossen. Dass wird gemacht, bei Divisionen um zu verhindern , dass durch Null geteilt wird. Oder es werden Folgen betrachtet, bei denen ein n vorgegeben wird und für alle N>n muss dann eine Bedingung erfüllt sein. Wichtig ist, dass alle Beteiligten wissen worum es geht, welche Gruppe gerade betrachtet wird.