Berechne ∫gamma ⟨-grad f,ds⟩

Question

Betrachte die Funktion f : ℝ³ → ℝ mit f (x,y,z) = 2xyz. Sei gamma : [0,1] → ℝ³ eine Kurve , die im Punkt x₀ = (1,1,1) beginnt und im Punkt x₁ = (5,8,2) endet. Berechne ∫_gamma ⟨-grad f,ds⟩

Wie berechne ich diese Aufgabe ?

Comments

Ist \(-f\) das Potenzial des Vektorfelds \(F\)?

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Es gilt nämlich nach der Kettenregel $$\int \limits_{0}^{1}\operatorname{grad}f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\, \mathrm{d}t=f(\gamma((1))-f(\gamma (0))$$ wobei \(\gamma : [0,1]\to \mathbb{R}^3 \, , \, t\mapsto \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 4\\7\\1 \end{pmatrix}\)

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ich habe in den Lösungen -158 da stehen, wie kommt man drauf ? und woher sind die zahlen 4,7,1 ?

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Konservatives Vektorfeld: $$\int \limits_{0}^{1}-\operatorname{grad}f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\, \mathrm{d}t=f(\gamma (0))-f(\gamma(1))=f(1,1,1)-f(5,8,2)=2\cdot 1 \cdot 1-2\cdot 5\cdot 8 \cdot 2=-158 $$

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woher sind die zahlen 4,7,1 ?

Weißt du aus der Schule noch, wie man eine Gerade durch zwei Punkte aufstellt? (Analytische Geometrie)

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ahh oki, aber eine Frage hätte ich da noch... und zwar wurde eine 2 hinzugefügt, woher kommt die ?benutzt man die auch bei anderen Werte und wieso wurde bei 2*1*1 nicht nochmal * 1 genommen, es steht ja (1,1,1) als Vektor...

entschuldige für die ganzen Fragen...und Danke dir !

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Ja, klar, da habe ich eine 1 unterschlagen.

Wäre 2*1*1*1

Answer 1

Hallo,

nach der Kettenregel \((*)\) gilt:$$\int \limits_{0}^{1}-\operatorname{grad}f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\, \mathrm{d}t=f(\gamma (0))-f(\gamma(1)) =f(1,1,1)-f(5,8,2) \\ =2\cdot 1 \cdot 1\cdot 1 -2\cdot 5\cdot 8 \cdot 2=-158$$ \((*)\) Es gilt nämlich, dass \(f'(\gamma(t))=\operatorname{grad}f(\gamma(y))\cdot \gamma'(t)\)