Aussageform in quantorenschreibweise

Question

a+2b>c (natürliche zahlen)

mit Quantoren für jede möglichkeit anschreiben

Comments

Was genau meinst du mit "Quantoren für jede Möglichkeit anschreiben"?

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Beispielsweise

∃a∈N

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Ja, aber was soll dir das bringen? Du kannst da viele Kombinationen schreiben... Du kannst jeweils für jede Zahl den Existenz oder Allquantor benutzen und alle verschiedenen Möglichkeiten dir ausdenken, aber was machst du dann damit? Sollst du die Aussagen dann beweisen oder wie?

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Die aussagen sind dann jeweils wahr oder nicht wahr dass soll ich bestimmen

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Das war in deiner Frage nicht ersichtlich. So hätte das heißen können, du willst alle Kombinationen aufgeschrieben haben und dann bist du fertig xD

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Sorry habs vergessen dazuschreiben

Answer 1

So testest du, ob ∀x φ(x) gilt.

1. Wähle eine Zahl aus.
2. Ersetze in φ(x) das x durch die gewählte Zahl.
3. Falls φ dadurch falsch ist, dann ist gilt ∀x φ(x) nicht und der Test is beendet.
4. Falls es Zahlen gibt, die du in Schritt 1. noch nicht ausgewählt hast, dann gehe zurück zu 1.
5. Die Aussage ist wahr.

So testest du, ob ∃x φ(x) gilt.

1. Wähle eine Zahl aus.
2. Ersetze in φ(x) das x durch die gewählte Zahl.
3. Falls φ dadurch wahr ist, dann ist gilt ∀x φ(x) und der Test is beendet.
4. Falls es Zahlen gibt, die du in Schritt 1. noch nicht ausgewählt hast, dann gehe zurück zu 1.
5. Die Aussage ist falsch.

Das spulst du für alle Möglichkeiten der Quantisierung ab, also für

1. ∀a ∀b ∀c a + 2b > c
2. ∀a ∀b ∃c a + 2b > c
3. ∀a ∃b ∀c a + 2b > c
4. ∀a ∃b ∃c a + 2b > c
5. ∃a ∀b ∀c a + 2b > c
6. ∃a ∀b ∃c a + 2b > c
7. ∃a ∃b ∀c a + 2b > c
8. ∃a ∃b ∃c a + 2b > c
9. ∀a ∀c ∀b a + 2b > c
10. ∀a ∀c ∃b a + 2b > c
11. ∀a ∃c ∀b a + 2b > c
12. ∀a ∃c ∃b a + 2b > c
13. ∃a ∀c ∀b a + 2b > c
14. ∃a ∀c ∃b a + 2b > c
15. ∃a ∃c ∀b a + 2b > c
16. ∃a ∃c ∃b a + 2b > c
17. ∀b ∀a ∀c a + 2b > c
18. ∀b ∀a ∃c a + 2b > c
19. ∀b ∃a ∀c a + 2b > c
20. ∀b ∃a ∃c a + 2b > c
21. ∃b ∀a ∀c a + 2b > c
22. ∃b ∀a ∃c a + 2b > c
23. ∃b ∃a ∀c a + 2b > c
24. ∃b ∃a ∃c a + 2b > c
25. ∀b ∀c ∀a a + 2b > c
26. ∀b ∀c ∃a a + 2b > c
27. ∀b ∃c ∀a a + 2b > c
28. ∀b ∃c ∃a a + 2b > c
29. ∃b ∀c ∀a a + 2b > c
30. ∃b ∀c ∃a a + 2b > c
31. ∃b ∃c ∀a a + 2b > c
32. ∃b ∃c ∃a a + 2b > c
33. ∀c ∀a ∀b a + 2b > c
34. ∀c ∀a ∃b a + 2b > c
35. ∀c ∃a ∀b a + 2b > c
36. ∀c ∃a ∃b a + 2b > c
37. ∃c ∀a ∀b a + 2b > c
38. ∃c ∀a ∃b a + 2b > c
39. ∃c ∃a ∀b a + 2b > c
40. ∃c ∃a ∃b a + 2b > c
41. ∀c ∀b ∀a a + 2b > c
42. ∀c ∀b ∃a a + 2b > c
43. ∀c ∃b ∀a a + 2b > c
44. ∀c ∃b ∃a a + 2b > c
45. ∃c ∀b ∀a a + 2b > c
46. ∃c ∀b ∃a a + 2b > c
47. ∃c ∃b ∀a a + 2b > c
48. ∃c ∃b ∃a a + 2b > c

Etwas Aufwand kannst du dir durch folgende Überlegungen sparen.

• ∀x ∀y φ(x,y) ist äquivalent zu ∀y ∀x φ(x,y)
  
• ∃x ∃y φ(x,y) ist äquivalent zu ∃y ∃x φ(x,y)

Beachte, dass ∀x ∃y φ(x,y) und ∃y ∀x φ(x,y) im Allgemeinen nicht äquivalent sind.

Beispiel. ∃c ∀a ∃b a + 2b > c

Ich wähle c = 1. Einsetzen liefert ∀a ∃b a + 2b > 1 .

Ich wähle a = 1. Einsetzen liefert ∃b 1 + 2b > 1 .

Ich wähle b = 1. Einsetzen liefert 1 + 2·1 > 1 . Die Ungleichung ist gültig. Gemäß ∃x φ(x) Punkt 3. ist dann auch ∃b 1 + 2b > 1  gültig.

Ich wähle a = 2. Einsetzen liefert ∃b 2 + 2b > 1.

Ich wähle b = 1. Einsetzen liefert 2 + 2·1 > 1 . Die Ungleichung ist gültig. Gemäß ∃x φ(x) Punkt 3. ist dann auch ∃b 1 + 2b > 1  gültig.

Spätestens jetzt sollte man sehen dass ∃b a + 2b > 1 für jede Wahl von a gültig ist (nähmlich durch Wahl von b = 1).

Somit ist auch ∃c ∀a ∃b a + 2b > c gültig.

Beispiel. ∃a ∃b ∀c a + 2b > c

Ich wähle a = 1. Einsetzen liefert ∃b ∀c 1 + 2b > c.

Ich wähle b = 1. Einsetzen liefert ∀c 1 + 2·1 > c.

Ich wähle c = 3. Einsetzen liefert 1 + 2·1 > 3. Die Ungleichung ist ungültig. Gemäß ∀x φ(x) Punkt 3. ist dann auch ∀c 1 + 2·1 > c ungültig.

Spätestens jetzt sollte man sehen dass ∃a ∃b ∀c a + 2b > c durch Wahl von c = a+2b ungültig ist.

Comments

Erstmal vielen dank für die ausführliche antwort.

Ich hätte eine frage, was genau ist φ. Was für eine bedeutung hat es?

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φ ist eine beliebige Formel. Ist zum Beispiel

          ∀x φ(x)

die Formel

        ∀x ∃y ∀z x + 2y > z ,

dann ist φ die Formel

        ∃y ∀z x + 2y > z