Bestimmen sie die Zahlen h, für die der Extrempunkt ein Tiefpunkt ist.

Question

Aufgabe:

f_h(x)= x³+x²(h-1)-h

1.Berechnen den Extrempunkt.

Bestimmen sie die Zahlen h, für die der Extrempunkt ein Tiefpunkt ist.

2. An der Stelle x=1 seien die Tangenten von f_h(x) t_h

Bestimme die Funktionsgleichung für G_h, für den t_h orthogonal zur y-Achse verläuft.

Answer 1

1.Berechnen den Extrempunkt.

Bestimmen sie die Zahlen h, für die der Extrempunkt ein Tiefpunkt ist

fh(x)= x^3+(x^2)*(h-1)-h

fh'(x)= 3x^2+2*(h-1)*x=0

Nullstelle x=0

3x+2(h-1)=0

3x= 2(1-h)

x= 2/3(1-h) 2. Nullstelle

fh''(x)= 6x+2*(h-1)>0

Für h>1 ist an der Stelle x=0 ein Tiefpunkt

6*2/3(1-h)-2(1-h)>0
2(1-h)>0

h<1

Für h<1 ist an der Stelle x= 2/3(1-h) ein Tiefpunkt

Answer 2

fh(x) = x^3 + x^2·(h - 1) - h

fh'(x) = 3·x^2 + 2·x·(h - 1) = x·(3·x + 2·(h - 1)) = 0 --> x = 0 ∨ x = 2/3·(1 - h)

Es gibt hier nicht den Extrempunkt. Wenn es Extrempunkte gibt, dann hat mal also gleich zwei einen Hoch- und einen Tiefpunkt. An der weiter rechts liegenden Extremstelle ist immer der Tiefpunkt.

Also

EP(0 | -h) für h > 1 ein Hochpunkt

EP(2/3·(1 - h) | (4·h^3 - 12·h^2 - 15·h - 4)/27) für h > 1 ein Tiefpunkt