Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von f in H(2, 1) einen Hochpunkt und in T(4, 1) einen Tiefpunkt besitzt

Question

Die Ausgangsfunktion ist gegeben f(x)=0,5x^3 - 4,5x^2 + 12·x - 9.

Die Abbildung 1 zeigt den zu f gehörigen Graphen.

a) Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von f in H(2, 1) einen Hochpunkt und in T(4, 1) einen Tiefpunkt besitzt.

b) Die Funktion \( f \) lässt sich auch darstellen in der Form:

\( f(x)=(x-3) \cdot\left(0,5 \cdot x^{2}-3 \cdot x+3\right) \)

Ermitteln Sie alle Nullstellen von f und geben Sie diese nicht als Näherungswerte, sondern exakt an.

c) Zeigen Sie, dass der Graph von f den Wendepunkt W(3|0) besitzt. Bestimmen Sie eine Gleichumg der Wendetangente an den Graphen von f.

d) Entscheiden Sie, ob die Aussagen A bis C jeweils wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidungen.

A: Die Steigung der Geraden durch die Punkte \( T(4|-1) \) und \( A(6| f(6))) \) beträgt 5.
B: Der Graph der Ableitungsfunktion \( f' \) fällt für \( x>3 \).
C: Die Funktionswerte der Ableitung von \( f \) sind nie kleiner als \( -1,5 \).

Comments

Erstmal bei der c). Du musst zwei mal ableiten. Dann die 2 ableitung gleich null setzen dann hast du den punkt ausgerechnet wp. Dann den wp x wert in die erste ableitung für die steigung. Dann kannst du mit der steigung m und den wp die tangengleichung bestimmen. Tipp sie muss negativ sein. Hat das erstmal geklappt?

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Ja das hat sehr geholfen danke :D habe -2.5x+7,5 raus ? ist das richtig für die Tangenten Gleichung ??

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Leider nein es muss -1.5x+4.5=y sein. Du hast vielleicht verrechnet die steigung ist minus 1.5 überpruef das noch einmal.

Answer 1

Hi,

c)

Nun bilde die zweite und dritte Ableitung und überprüfe das.

f''(x) = 3x-9

f'''(x) = 3

f''(3) = 3*3-9 = 0

f'''(3) = 3 ≠ 0

Bedingung für Wendepunkt also erfüllt. Die Stelle 3 passt.

Nun noch f(3) kontrollieren und das ist in der Tat W(3|0) ein Wendepunkt.

Wendetange überlasse ich Dir. Vorgehen:

Bestimme f'(3) und f(3).

Mit ersterem hast Du direkt die Steigung für y = mx+b und mit dem Punkt P(3|f(3)) kannst Du dann vollens b bestimmen ;).

d)

A Bilde die Gerade. f(6) = 9

Gerade durch T(4|-1) und A(6|9) ergibt sich zu y = 5x - 21

(Die Geradengleichung austellen ist klar?)

Die Steigung ist also tatsächlich m = 5 und die Sache passt.

B Nun, bilde die Ableitung. Diese ist

f'(x) = 3/2*x^2-9x+12

Ich würde das jetzt in Scheitelpunktform angeben, ist aber kein Muss.

3/2*(x-3)^2-3/2

Der Scheitel liegt bei 3 und die Parabel ist nach oben geöffnet.

→ Nein, wir steigen für x>3.

C Das habe ich zufällig schon mit B gezeigt.

Der Scheitelpunkt (und damit das Minimum) liegt bei y = -1,5.

Stimmt also.

Grüße