Hochpunkt/Tiefpunkt berechnen - Frage

Question

EIgentlich weiß ich, wie man Extremstellen, bzw. Hoch und Tiefpunkte berechnet. 

Ich bin immer davon aus gegangen, dass es so funktioniert, dass man erst die erste und dann die zweite Ableitung bildet - Die erste setzt man dann 0, als notwendige Bedingung. Dann schaut man, welche von denen im Intervall der Aufgabe liegen bzw. ob bewisen ist, dass f`(x) gleich null ist. Und dann setzt man die Im Intervall liegene Nullstelle in die zweite Ableitung ein, und dann schaut man, ob das Ergebnis kleiner 0 ist, also HP oder großer 0, TP. 

Und für y setzt man in Originalfunktion ein. 

Aber bei der Aufgabe : Ermitteln sie, ausgehend von einem mathematischen Ansatz, für den ersten Tag im Zeitintervall von 14:00 Uhr bis 20 Uhr einen ungefähren Wert für die Hochsttemperatur im ungedämmten Raum

Hier habe ich in die Lösung geschaut, und dort haben sie auch die erste Ableitung null gesetzt und dann 4 (weil die im Intervall lag) in die erste Ableitung gesetzt, da kam dann 0,144 raus - also kleiner null und somit HP. 

Beim EInsetzten von 4 in die Originalfunktion kam dann die Temperatur heraus. 

Aber wieso haben die jetzt die vier in die erste Ableitung gesetzt und nicht in die zweite? 

Muss man immer so vorgehen? Schreibe morgen meine ZP.

Vielen Dank schon im Voraus :)

LG

Answer 1

Die Nullstelle der Funktion selbst wird in die erste Ableitung eingestzt, wenn man wissen will, wie groß die Steigung dort ist. Das Einsetzen der Nullstelle der ersten Ableitung in die erste Ableitung ist sinnlos. Man weiß ja, dass da 0 herauskommt.

Comments

Habe es auch mal selbst mit der zweiten Ableitung probiert - habe dann die vier in die zweite eingesetzt, und da kam auch ein minus Wert, also kleiner null heraus - also auch hier HP erreicht. Frage mich nur, ob das zufall war :D

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Die Nullstelle war doch x ≈ 4.4 oder?

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ja das waren 4,4

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Ja, und das musst du nun in die zweite Ableitung einsetzen.

Alternative mit dem Vorzeichenwechselkriterium: Du setzt geeignete Nachbarn von x=4.4 in die erste Ableitung ein. (Falls dir dieses Kriterium unbekannt ist, mach es halt mit der zweiten Ableitung, bei den Funktionen, die in der ZK zu erwarten sind, geht das auch.)

Answer 2

Gib einmal die Originalfunktion an.

Comments

f(t) = 0,008t³ -0,28t² +2t +25,6

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Nach deiner Formel ergibt sich eine
Höchsttemperatur von 30 Grad bei 4 Uhr
sowie eine Niedrigtemperatur
von 18 Grad bei 18 Uhr. Stimmt das ?

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Ja, das stimmt, genau sind es 29,9 

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Wie zu sehen ist die Höchsttemperatur bei
ca 4 Uhr ( morgens ).
Die Tiefstemperatur bei ca 18 Uhr ( abends ).
Dies passt physikalisch schon einmal nicht.

Morgens um 5 Uhr ist meist ein Tiefsttemperatur
vorhanden. Abends um 5 Uhr wird meist die Tages-
höchsttemperatur erreicht.
Irgendiwie stimmt es in deiner Aufgabenstellung
nicht.

Zur Klärung der Unstimmigkeiten bitte einmal 
den Originalfragetext ( Foto ) einstellen.

mfg Georg

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Die Werte sind alle nach 12 Uhr mittags. In dem Graphen bei mir entsprechen 5 gleich 17 Uhr, und 4 entspricht 16 Uhr (daher passt ja auch die vier in das Intervall, nämlich 14-20 Uhr) 

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Hier eine " rein mathematische " Kurvendiskussion

 

( 4.4 | 29.66 ) Hochpunkt
( 18.93 | 17.39 ) Tiefpunkt

Answer 3

Hallo nfazrac, 

> Aber wieso haben die jetzt die vier in die erste Ableitung gesetzt und nicht in die zweite? 

Berechnung der lokalen Extremstellen:

f '(x) = 0 ergibt die möglichen Extremstellen x_E

f "(x_E) > 0 → T , f "(x_E) < 0 → H 

bei f "(x_E) = 0  prüft, ob und wie f '  bei x_E das Vorzeichen wechselt. 

     wenn  VZW  + → -    hat man einen  Hochpunkt  

     wenn  VZW  - → +    hat man einen  Tiefpunkt

     wenn kein VZW vorliegt, hat man einen Sattelpunkt  

> Muss man immer so vorgehen? 

Den VZW von f '  kann man auch immer statt des Einsetzens in f " als Eintscheidunggskriterium für  H|T|S  nehmen.

Gruß Wolfgang

Comments

Und wie geht der VZW von statten?

In der Aufgabe haben sie ja, nachdem sie in die erste Ableitung eingesetzt haben, dann eine Zahl kleiner als Null herausbekommen, und demnach dan gesagt, dass ein HP vorliegt ( wegen kleiner Null) 

Wo ist da ein VZW passiert?

Und wenn man in die zweite Ableitung einsetzt, muss ich keine Vorzeichen wechseln?

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Die 2.Ableitung ist die Krümmung.

Krümmungswert negativ : Rechtskrümmung
Krümmungswert positiv : Linkskrümmung

Rechne die Nullstellen der 1.Ableitung aus
und setze die Werte in die 2.Ableitung ein.
Der Hochpunkt ( bei ca 4 ) hat einen negativen
Wert = Rechtskrümmung, wie aich in meinem
Graph zu sehen.

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@nfazrac

für die Extremwerte ( und damit auch die Monotonie):

Vorzeichen -Tabelle von f '   bei x = x_E 

 x          ...             (a)                    x_E               (b)

f '(x)     ....             ± ?                   0                  ± ?  

a,b müssen so gewählt werden, dass  in [ a , x_E [   und  ] x_E , b ]   weder Nullstellen von f ' noch Definitionslücken von f  liegen.

Für die Krümmung kann man das Gleiche mit den Nullstellen von f " machen.

(hatte mich oben vertippt, muss f '  [statt f " ] heißen und ist korrigiert ) 

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Dankeschön!

Versteht man unter VZW einfach das schauen , ob die Zahl unter oder über null ist?

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> ... ob die Zahl unter oder über null ist?

ja,  wenn das "direkt" vor der Nullstelle von f ' umgekehrt ist wie direkt nach dieser Nullstelle, dann hat man einen Vorzeichenwechsel von f '

Answer 4

"Hier habe ich in die Lösung geschaut, und dort haben sie auch die erste Ableitung null gesetzt und dann 4 (weil die im Intervall lag) in die erste Ableitung gesetzt, da kam dann 0,144 raus - also kleiner null und somit HP. 

Beim EInsetzten von 4 in die Originalfunktion kam dann die Temperatur heraus. 

Aber wieso haben die jetzt die vier in die erste Ableitung gesetzt und nicht in die zweite?"

Du hast die angegebene Lösung gründlich missverstanden. In der Lösung wurde als eine mögliche hinreichende Bedingung gar nicht die zweite Ableitung benutzt, sondern das Vorzeichenwechselkriterium. Das steht aber auch darüber! Dazu wurden passende Nachbarstellen (x=4 und x=5) zu der Nullstelle der Ableitung (x = 4.4) in die erste Ableitung eingesetzt, um den Vorzeichenwechsel zu zeigen.

Comments

Muss da denn immer diese VZW angewandt werden? 

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Nein, du kannst (manchmal) auch die zweite Ableitung benutzen.