Begründe kurz, dass jeder Graph der Schar genau einen Extrempunkt und zwar einen Tiefpunkt besitzt.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

ov. 23 19:09
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktionenschar \( f_{a}(x)=2 x^{2}+(12-2 a) x-12 a+4, a \in \mathbb{R} \).
a) Weise nach, dass \( P(-6 \mid 4) \) ein gemeinsamer Punkt aller Funktionen der Schar ist.
b) Begründe kurz, dass jeder Graph der Schar genau einen Extrempunkt und zwar einen Tiefpunkt besitzt.
c) Berechne die Funktionsgleichung der Ortskurve der Tiefpunkte der Schar.
Hinweis: Auf die Überprüfung mittels hinreichenden Kriteriums darf verzichtet werden.
d) Untersuche, für welche Werte von a die Funktion \( f_{a} \) keine, eine, zwei Nullstellen besitzt.

Problem/Ansatz:

Ich hab keine Ahnung wie man das berechnen soll.

Answer 1

a) Weise nach, dass \( P(-6 \mid 4) \) ein gemeinsamer Punkt aller Funktionen der Schar ist.

Setze x=-6 in die Funktionsgleichung ein und stelle erstaunt fest, dass im Ergebnis kein a mehr vorkommt und es einfach nur 4 ist.

b) Was weißt du quadratische Funktionen? (Wie viele "Extrem"-Punkte haben sie und nach welcher Seite ist der Graph geöffnet, wenn der Faktor vor x² positiv ist?)

Du kannst auch gern Extrempunkte mit dem Nullsetzen der ersten Ableitung finden und deren Art mit dem Vorzeichen der 2. Ableitung bestimmen.

Das wäre ein Ansatz für erste Eigenleistungen.

Answer 2

Hallo,

\(f_a(x)=2x^2+(12-2a)x-12a+4\\ f_a'(x)=4x+12-2a\)

a) Setze -6 für x und 4 für f(x) in die Gleichung ein. Was stellst du fest?

b) Teil 1 der Frage: Um was für eine Gleichung handelt es sich bzw. wie sieht der Graph dazu aus?

    Teil 2 der Frage: Wie lautet die 2. Ableitung der Funktion?

c) Schau dir z.B. dieses Video an!

d) Die Nullstellen der Gleichung kannst du beispielsweise mit der pq-Formel bestimmen.

Keine Nullstelle existiert, wenn der Term unter der Wurzel negativ ist.

Eine Nullstelle existiert, wenn der Term unter der Wurzel null ist.

Zwei Nullstellen exisitieren, wenn der Term unter der Wurzel positiv ist.

Gruß, Silvia

Answer 3

\( f_{a}(x)=2 x^{2}+(12-2 a) x-12 a+4, a \in \mathbb{R} \)

\( f_{b}(x)=2 x^{2}+(12-2 b) x-12 b+4, b \in \mathbb{R} \)

\(2 x^{2}+(12-2 a) x-12 a+4= 2 x^{2}+(12-2 b) x-12 b+4\)

\((12-2 a) x-12 a= (12-2 b) x-12 b\)

\(12x-2 a x-12 a= 12x-2 b x-12 b\)

\(-2 a x-12 a= -2 b x-12 b\)

\( a x+6 a=b x+6 b\)

\( a x-b x=6 b-6a\)

\( x*(a-b)=6 (b-a)\)

\( x=-6\)

\( f_{1}(-6)=2* (-6)^{2}+(12-2 ) *(-6)-12 +4=4\)

\( f_{2}(-6)=2* (-6)^{2}+(12-4 ) *(-6)-24 +4=4\)

Gemeinsamer Punkt \(P(-6|4)\)

Comments

\( f_{2}(-6)=2 *(-6)^{2}+(12-4) *(-6)-24+4=4 \)

ist völlig überflüssig.

Der Übergang von

x∗(a−b)=6(b−a)

zu

x=-6 

ist ohne weitere Erklärung fragwürdig.

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\( f_{\red{2}}(-6)=2 *(-6)^{2}+(12-4) *(-6)-24+4=4 \)ist völlig überflüssig.

Finde ich nicht, da dann exakt gezeigt ist, dass an der Stelle \(x=-6\) wirklich der gemeinsame Punkt liegt.

Der Übergang von \(x∗(a−b)=6(b−a)\)  zu \(x=-6\)  ist ohne weitere Erklärung fragwürdig.

Eigentlich bist du doch immer der Meinung, dass man dem "FS" auch ein eigenes Erfolgserlebnis ermöglichen soll. Jetzt weichst du aber davon ab.

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Finde ich nicht, da dann exakt gezeigt ist, dass an der Stelle \(x=-6\) wirklich der gemeinsame Punkt liegt.

Wenn \(f(-6)\) vom Parameter unabhängig ist, ist das auch exakt und bedarf keiner weiteren unnötigen Rechnung. Das ist nur notwendig, wenn man den gemeinsamen Punkt nicht schon kennt.

Eigentlich bist du doch immer der Meinung, dass man dem "FS" auch ein eigenes Erfolgserlebnis ermöglichen soll.

Und das erreicht man, indem man beim unnötig komplizierten Vorrechnen relevante Schritte weglässt? Interessant.

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Eigentlich bist du doch immer der Meinung, dass man dem "FS" auch ein eigenes Erfolgserlebnis ermöglichen soll. Jetzt weichst du aber davon ab.

Mein Einwand ging nicht gegen das Nennen von x= -6, sondern gegen die fehlende Betrachtung der 2. Möglichkeit, die erst nach Behebung einer Lücke in deiner Darlegung nicht-existent wird.

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Es geht doch auch darum, ob anzunehmen ist, dass der Fragesteller überhaupt erkennt, dass eine Lücke in der Argumentation vorhanden ist, die zu schließen ihm selbst überlassen worden ist.

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Ich nehme nicht mal an, dass Moliets die Lücke erkennt.

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Ich nehme nicht mal an, dass Moliets die Lücke erkennt.

Du scheinst, ein schlechtes Bild von mir zu haben:

\(x(a−b)=6*(b−a)\)

\(x=\frac{6*(b−a)}{a−b}\)

\(x=\frac{-6*(b−a)}{b-a}\)

\(x=-6\)

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Einfach super !

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Du scheinst, ein schlechtes Bild von mir zu haben:
\(x(a−b)=6*(b−a)\)
\(x=\frac{6*(b−a)}{a−b}\)
\(x=\frac{-6*(b−a)}{b-a}\)
\(x=-6\)

Zu Recht. Das finde ich nämlich kritisch!

Einfach super !

Hoffentlich ist das Ironie.

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Du scheinst, ein schlechtes Bild von mir zu haben:

Es hat sich aber bestätigt.

Aus  \(x∗(a−b)=6(b−a)\)  folgen die beiden Möglichkeiten

1) x=-6

2) a=b

Du hast versäumt, in deinen ersten beiden Zeilen die Forderung a≠b zu benennen (geschweige denn, zu begründen).

Das war wieder mal ein typischer Moliets: Eine Selbstdarstellung für die Galerie, die dem Fragesteller in keiner Weise effektiv hilft.

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Du hast versäumt, in deinen ersten beiden Zeilen die Forderung a≠b zu benennen (geschweige denn, zu begründen).

Das habe ich vorausgesetzt!

Sonst hätte es ja nicht \(f_a(x)=...\) und  \(f_b(x)=...\) gegeben, wenn \(a=b\) ist.

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Sowas gehört dennoch notiert...

Answer 4

a)
fa(-6) = 2·(-6)^2 + (12 - 2·a)·(-6) - 12·a + 4 = 4

b)
Die Funktion fa ist für alle a eine nach oben geöffnete, gestreckte und verschobene Parabel, die einen Tiefpunkt hat.

c)
fa'(x) = 4·x - 2·a + 12 = 0 → a = 2·x + 6
y = 2·x^2 + (12 - 2·(2·x + 6))·x - 12·(2·x + 6) + 4 = - 2·x^2 - 24·x - 68

d)
fa(x) = 2·x^2 + (12 - 2·a)·x - 12·a + 4 = 0
Diskriminante: D = (12 - 2·a)^2 - 4·2·(- 12·a + 4) = 4·a^2 + 48·a + 112
Keine Nullstelle: D = 4·a^2 + 48·a + 112 < 0 → - 2·√2 - 6 < a < 2·√2 - 6
Genau eine Nullstelle: D = 4·a^2 + 48·a + 112 < 0 → a = - 2·√2 - 6 ∨ a = 2·√2 - 6
Zwei Nullstellen: D = 4·a^2 + 48·a + 112 > 0 → a < - 2·√2 - 6 ∨ a > 2·√2 - 6