Lösen Sie die folgende Gleichung: e*e^(x+2) = (e^4)^x

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die folgende Gleichung:

$$e*e^{x+2}=(e^{4})^{x}$$

Ansatz:

$$e^{x+3}=e^{4x} | ln()$$

$$x+3*ln(e)=4x*ln(e) | ln(e)=1$$

$$x+3=4x | :x$$

$$\frac{3}{x}=4 | *x$$

$$3=4x|:4$$

$$x=\frac{3}{4}$$

Kann mir jemand sagen, was ich dort falsch mache?

Ich habe alle Regeln richtig angewendet...

Die 3/4 habe ich im TR auf beiden Seiten eingegeben und bekomme was anderes raus. Daraus schließe ich, dass 3/4 nicht das gesuchte X ist

Comments

Hey Martin, noch ein kleiner LaTeX bzw. Mathjax-Tipp: Du kannst die Formeln auch alle Inline schreiben, also ohne Zeilenumbruch. Das geht mit \( ... \) als Begrenzer. Außerdem kannst du Malzeichen mit \cdot schreiben.

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Danke. Werde ich das nächste mal benutzen

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Für das Erstellen von Gleichungssystemen in LaTeX habe ich auch einen Wissensartikel gemacht, den kannst du dir hier angucken.

Answer 1

Hallo,

es gilt:$$ e^1\cdot e^{x+2}=(e^4)^x \Leftrightarrow e^{x+3}=e^{4x}$$

Vergleiche mal die Exponenten. Der Ausdruck wäre ja nur gleich, wenn im Exponent die gleiche Zahl steht, z. B. \(e^2=e^2\) oder \(e^5=e^5\). Genau aus diesem Grund betrachten wir jetzt nur den Exponenten:

\(x+3=4x \Leftrightarrow 3=3x \Leftrightarrow \color{red}{x=1}\), denn dann ist \(e^4=e^4\, \, \checkmark\)

Alternativ könntest du bei \(e^{x+3}=e^{4x}\) auf beiden Seiten den \(\ln(...)\) anwenden, dann kommst du ebenfalls auf \(x+3=4x\). Es ist aber nicht schlecht sich einen Blick für derartige Betrachungen anzueignen.

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Danke, das hat mir sehr geholfen. Mit dem ln (x) ist es aufwändiger.

Answer 2

Hallo Martin,

du kannst die Gleichungen folgendermaßen umformen: $$\begin{aligned}\mathrm e\cdot \mathrm e^{x+2}&=\left(\mathrm e^{4}\right)^{x}&&\lvert\; x^a\cdot x^b=x^{a+b}, \quad \left(x^{a}\right)^b=x^{a\cdot b}\\ \mathrm e^{x+3}&=\mathrm e^{4x}\\\ln\left(\mathrm e^{x+3}\right)&=\ln\left(\mathrm e^{4x}\right)&&\lvert\; \ln{\mathrm e^{x}} = x\\ x+3&=4x&&\lvert\; \div x\\ \color{red}1+3/x&=4 &&\lvert\;-1 \quad \text{ Du hast die } \color{red}1 \text{ vergessen!}\\3/x&=3&&\lvert\; \cdot \phantom{\div\!\!}x\\3&=3x&&\lvert\;\div 3\\x&=1\end{aligned}$$ Dein Fehler war, dass du vergessen hast, dass gilt \(\frac{x}{x}=\tfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}}=\color{red}1\). Die restlichen Umformungen waren richtig.

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Danke Doesbaddel. Jetzt weiß ich wo mein Fehler war.

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Kein Problem :)

Answer 3

Aloha :)

$$\left.e\cdot e^{x+2}=(e^4)^x\quad\right|\quad e=e^1$$$$\left.e^1\cdot e^{x+2}=(e^4)^x\quad\right|\quad\text{links: \(a^b\cdot a^c=a^{b+c}\)}$$$$\left.e^{1+x+2}=(e^4)^x\quad\right|\quad\text{rechts: \((a^b)^c=a^{bc}\)}$$$$\left.e^{x+3}=e^{4x}\quad\right|\quad\ln(\cdots)$$$$\left.(x+3)\ln e=4x\ln e\quad\right|\quad\ln e=1$$$$\left.x+3=4x\quad\right|\quad-x$$$$\left.3=3x\quad\right|\quad\div3$$$$x=1$$

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Danke für deine Antwort.

Wie kommst du von x+3 = 4x zu 3 = 3x ?

x+3 = 4x  | -x

3     =4x-x

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4x=x+x+x+x

und damit 4x-x=x+x+x+x-x=3x

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Ich subtrahiere auf beiden Seiten \(x\). Also bei$$x+3=4x$$wird links und rechts \(x\) subtrahiert:$$x+3-x=4x-x$$$$3=3x$$

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Das ist mir jetzt peinlich. Stimmt, da hatte ich einen Hänger. : /

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Ist doch nicht schlimm, wir sind alle nur Menschen. Kann jedem Mal passieren.