Das Doppelte einer Quadratzahl kann keine Quadratzahl sein

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass das Doppelte einer Quadratzahl keine andere Quadratzahl geben kann, angenommen Sie würden \( \sqrt{2} \) für eine rationale Zahl halten.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir schon einige Gedanken dazu gemacht und habe auch schon einen geometrischen Ansatz verfolgt, doch alle liefen ins Leere hinaus. Ich wäre euch dankbar wenn ihr mir einen guten Tipp geben könntet.

Comments

Ich setze die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung voraus:

Lemma:

Sei \( a = p_1^{e_1} \dotsm p_k^{e_k} \), dann gilt

\( a \) Quadratzahl \( \iff \) \( e_1,...,e_k \) gerade.

Beweis:

"=>" Sei \( a\)  eine Quadratzahl, dann existiert ein \( b \) mit \( b^2 = a \), etwa \( b = q_1^{f_1} \dotsm q_l^{f_l} \). Also ist \( a = q_1^{2f_1} \dotsm q_l^{2f_l} \), wegen der Eindeutigkeit der PFZ folgt \( k = l \) und nach eventuell umnummerieren \( e_1 = 2f_1 \), ..., \(e_k = 2f_k \), d.h. die \( e_i \) sind alle gerade.

"<=" Seien \( e_1,...,e_k \) gerade, etwa \( e_i = 2f_i \), dann ist \( a \) wegen $$ a = \left(q_1^{f_1} \dotsm p_k^{f_k}\right)^2 $$ offensichtlich eine Quadratzahl.

Jetzt zur eigentlichen Aufgabe:

Sei \( n \) eine Quadratzahl, wie oben gezeigt hat \( n \) eine PFZ der Form $$ n = 2^{2e_0} \cdot p_1^{2e_1} \dotsm p_k^{2e_2} $$ mit \( e_1,...,e_k \in \mathbb{N} \) und \( e_0 \in \mathbb{N}_0 \) (\(e_0\) kann auch 0 sein, falls 2 kein Primfaktor ist). Wir betrachten nun \( 2n \): $$ 2n = 2^{2e_0 + 1} \cdot p_1^{2e_1} \dotsm p_k^{2e_2} $$

Da \( 2e_0 + 1 > 0 \) und ungerade kann \( 2n \) keine Quadratzahl sein (vgl Lemma oben).

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Ich habe meine Antwort vervollständigt.

Answer 1

Wenn n=2k, dann ist n^2=4k^2

n^2Ξ0 mod 4

Wenn n= 2k-1, dann ist n^2=4k^2-4k+1

n^2Ξ1mod4

Nun betrachte ich ein Quadrat mit n=2k+1

Wenn ich davon also 2 Quadrate nehme, dann gilt

2n^2Ξ2 mod 4

2n^2 ist also keine Quadratzahl.

wenn n= 2k-1

Wenn dann muss n=2k gelten, doch dazu später.

Wenn nun n=2k, dann

2n^2=8k^2=m^2 mit 4| m^2 dann aber existiert ein m', so dass

2k^2=m^2 dann muss aber auch k=2 k₁ sein , doch dann muss auch k₁=2k₂

_{Usw, aber es wir irgendwann , spätestens bei n=1,gibt es ein}

_{kn=2p-1 also, gibt es kein n, so dass 2n^2 eine Quadratzahl ist.}

Answer 2

Vielleicht so?

Wie der Name schon sagt, beschreibt eine Quadratzahl den Flächeninhalt eines Quadrats. Zwei Quadrate aneinandergereiht ergibt Rechteck. Kein Quadrat. Genauer: Es gibt keine Möglichkeit durch Aneinanderlegen von zwei Quadraten ein Quadrat zu erzeugen.

Comments

Ja aber ein Rechteck mit Seitenlänge 3 und 12 hat auch eine Fläche einer Quadratzahl ohne ein Quadrat sein zu müssen.

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Das ist kein Gegenbeispiel. Ich sage ja nicht, dass es kein Rechteck gibt, welches den Flächeninhalt einer Quadratzahl besitzt. Ich sage, dass es keine zwei gleiche Quadrate gibt, die, wenn man sie aneinanderlegt, ein Quadrat ergeben.

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Ja das stimmt schon, aber bei meinem Beweis bringt mich das nicht weiter bzw. ich wüsste nicht wie.

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Du wolltest doch ein geometrisches Argument? Du kannst eine Quadratzahl als Flächeninhalt eines Quadrates interpretieren. Zwei Quadrate sind dann \(n^2+n^2=2n^2\). Der Knackpunkt ist dann, dass du zwei Quadrate nicht so anordnen kannst, dass sie gemeinsam ein weiteres Quadrat bilden. Ich bin leider kein Geometrie-Experte, daher wirkt das vielleicht nicht so formal. Normalerweise würde ich aber, wenn das komplett falsch wäre, schon einen auf den Deckel bekommen von anderen Mitgliedern.

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Geometrisch ist es nicht möglich, aber das interessiert meinen Lehrer ja auch nicht. Er möchte bewiesen haben, dass das doppelte einer Quadratzahl keine Quadratzahl sein kann. Z.B. kann ein Quadrat mit Seitenlänge 3 und ein Quadrat mit Seitenlänge 5 auch nicht zu einem anderen Quadrat zusammengetan werden. Aber 9 und 25 gibt 36, was wiederum eine Quadratzahl ist.

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Ja, man müsste das geometrische Argument feiner formulieren. Trotzdem bedeutet das nicht, dass eine Querverbindung zwischen Geometrie und Zahlentheorie keinen validen Beweis liefern könnte.

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Das wäre schön, denn geometrische Beweise sind meiner Meinung nach die schönsten. :) Hätten Sie noch eine andere Idee oder Ansatz?

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Nochmal zu deinem Beispiel: Stell dir mal vor, du hast ein Quadrat mit der Seitenlänge 3 und der Seitenlänge 5 aus Knete. Könntest du die beiden dann nicht unter Bewahrung des Flächeninhalts, so verformen, dass ein Quadrat mit A=6^2 dabei rauskommt? Und geht das auch mit zwei gleichen Quadraten?

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Nicht masstabsgreu.

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EDIT: Habe erst gerade realisiert, dass 3^2+5^2=34 und nicht 36!!! Wähle 3^2+4^2=5^2. Ich denke aber, dass man zwei Flächengleiche Quadrate nicht in ein neues quadrat überführen kann durch verformung.

Answer 3

n sei eine natürliche Zahl. dann ist n² eine Quadratzahl und 2n² das Doppelte einer Quadratzahl. 2n²=(√2·n)·(√2·n)=(√2·n)². Damit (√2·n)² eine Quadratzahl ist, muss √2·n eine natürliche Zahl sein, was aber nicht der Fall sein kann.

Comments

Spielverderber, du weißt, dass \(\sqrt{2}\) irrational ist!

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Ja stimmt, man darf nicht davon ausgehen, dass \( \sqrt{2} \) irrational sein.

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man darf nicht davon ausgehen, dass √2 irrational sein

Dann musst du es beweisen, denn die Tatsache, dass b mit der Eigenschaft, dass  b^2 = 2a^2  ist,

 

für keine natürliche Zahl a selbst eine natürliche Zahl sein kann, ist gleichwertig mit der Tatsache, dass die Diagonale b im Quadrat und die Quadratseite a inkommensurabel sind, was eben genau bedeutet, dass wegen 2  =  b^2 / a^2  =  (b/a)^2  also  √2  =  b/a irrational ist.

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Ich denke, dass dieser Beweis explizit ohne das Argument der Irrationalität geschehen soll, um die Kreativität anzuregen.

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Wir sollen annehmen, dass Wurzel 2 eine rationale Zahl ist.

Answer 4

Bei jeder Quadratzahl kommen die Primfaktoren paarweise, also mit geradem Exponenten vor.

Wenn die Zahl verdoppelt wird, hat die 2 keinen Partner, d.h. der Primfaktor 2 kommt mit einem ungeraden Exponenten vor. Dann kann es keine Quadratzahl sein.

:-)

Comments

Elton wäre das zu einfach.:-)

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Elton John?

:-)

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Elton wäre das zu einfach.:-)

Von: wer weiß denn sowas