Berechnen Sie die Schnittpunkte von f und g und berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers.

Question

Aufgabe:

Die Fläche zwischen f und g mit

f(x)=0,5x + 1 und g(x)=-0,5x^2 + 2x + 1 rotiert um die x-Achse. Berechnen Sie die Schnittpunkte von f und g und berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers.

Problem/Ansatz:

Die Schnittpunkte habe ich ermittelt. x=0 und x=3. Ich wollte erstmal das Volumen der Parabel bestimmen und danach das Volumen unter der linearen Funktion und diese Ergebnis von dem Volumen der Parabel abziehen. Leider komme ich aber auf das falsche Ergebnis. Ich weiß jetzt nicht mehr weiter.

Answer 1

Hallo,$$V=V_{\text{groß}}-V_{\text{klein}}=\pi \int \limits_{0}^{3}(g(x)^2-f(x)^2)\, \mathrm{d}x \approx 31.101$$

https://www.desmos.com/calculator/c5wdknnxm2

Lasse erst die Parabel von 0 bis 3 um die x-Achse rotieren und höhle diesen Rotationskörper dann mittels der Rotation von der Geraden aus.

Es gilt:

\(g(x)^2=0.25x^4-2x^3+3x^2+4x+1\)

\(f(x)^2=0.25x^2+x+1\)

und damit \(g(x)^2-f(x)^2=0.25 x^4 - 2 x^3 + 2.75 x^2 + 5 x + 2\)

Hast du vielleicht \(\pi\) vergessen?

Comments

Hallo, das habe ich auch raus. Aber laut Lösung muss 6,362 rauskommen. Ich weiß nicht, was ich falsch mache.

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Was macht dich so sicher, dass die Lösung stimmt?

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Weil es das Lösungsblatt von meiner Lehrerin ist aber ich werde Sie mal darauf ansprechen. Vielen Dank.

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Ja, mach das mal.

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Die Lehrerin hat einen klassischen Fehler gemacht der auch bei Schülern auftritt.

Sie hat gerechnet

pi·∫ (x = 0 bis 3) ( ((- 0.5·x^2 + 2·x + 1) - (0.5·x + 1))^2 ) dx = 6.361725123

Und jetzt überlege mal, worin der Denkfehler der Lehrerin besteht?