Beweis, dass Zahlenfolge monoton steigend ist

Question

Aufgabe:

Gesucht war eine monoton steigende Zahlenfolge mit der oberen Schranke 5 und der unteren Schranke 1. Als Beispiel habe ich an=5-4/n gewählt. Nun soll bewiesen werden, dass diese Zf. wirklich monoton wachsend ist. Wie?

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass diese Zf. steigend ist, da a1=1, a2=3, a3=3,667, ... , a100=4,96, ... ist.

Ich weiß auch, dass bewiesen werden muss, dass an+1 > an ist. Also wird eingesetzt 5-4/n+1 > 5-4/n ... aber ich komme ab diesem Punkt nicht weiter.

Comments

an = 1 wäre auch gegangen.

Answer 1

5-4/(n+1)> 5-4/n   |-5

-4/(n+1)> -4/n       |·(-1)

4/(n+1)< 4/n         |·Hauptnenner

4n<4(n+1)            |wegen n>0 bleibt das Ungleichheitszeichen

4n<4n+4              |-4n

0<4 stimmt.

Answer 2

Bilde formal die Differenz a_n+1-a_n=\(5- \frac{4}{n+1} -(5- \frac{4}{n}) \) und weise nach, dass diese Differenz für jedes n positiv ist.

Tipp: Beim Umformen des Terms \(5- \frac{4}{n+1} -(5- \frac{4}{n}) \) wirst du irgendwann mal Brüche gleichnamig machen müssen.

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Wäre der erste Schritt Klammern auflösen?

Also aus -(5-4/n) wird -5+4/n?

Und was wäre der nächste Schritt? Meine Lehrerin meinte, ich solle auf Bruchterme erweitern, aber ich weiß nicht wie..

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Also aus -(5-4/n) wird -5+4/n?

Ja. Insgesamt hat die Differenz also die Form \(5- \frac{4}{n+1} -5+ \frac{4}{n}\), wobei sich 5 und -5 aufheben. Es bleibt also \(-\frac{4}{n+1} + \frac{4}{n}\)

Meine Lehrerin meinte, ich solle auf Bruchterme erweitern,

Nicht nur sie meint das.

Tipp: Beim Umformen des Terms ... wirst du irgendwann mal Brüche gleichnamig machen müssen.

Da du jetzt nur noch zwei Brüche hast, sollte das jetzt Erforderliche klar sein.

Answer 3

Subtrahiere a_n+1-a_n und zeige, dass die Differenz positiv ist.

:-)

5-4/(n+1)-(5-4/n)

=4/n -4/(n+1)

=4*(n+1)/[n*(n+1)]-4n/[n*(n+1)]

=(4*n+4-4*n)/[n*(n+1)]

=4/[n*(n+1)]

>0

Comments

Genau das ist der Punkt, an dem ich scheitere. Ich weiß nicht, wie ich die Brüche umforme, sodass ich diese subtrahieren kann ..

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

:-)

Answer 4

Lass es doch, wie es ist.

$$a(n)=5-4/n$$

$$a(n+1)=5-4/(n+1)$$

Zu zeigen ist$$ a(n)<a(n+1)$$

4/n wird mit wachsenden n immer kleiner.

Wenn ich 4 Pizzen habe, dann bekomme ich immer weniger, je mehr Leute zum Essen kommen.

Also $$4/n> 4/(n+1) >0$$

Wenn aber das, was ich abziehe immer kleiner wird, dann wird das was ich behalte immer mehr.

$$a(n)<a(n+1)$$

$$a(n) = 5- 4/n $$ist also eine monoton steigende Funktion.

Sie wird aber nie größer gleich 5 sein.

$$a(1)= 5-4=1$$

$$ 1 ≤ a(n) < a(n+1) < 5$$

Comments

Zu zeigen ist a(n)>a(n+1)

Nein, zu zeigen ist a(n)<a(n+1)

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Da habe ich mich verschrieben, bewiesen habe ich das richtige.

Danke für den Hinweis.