Verteilungsfunktion monoton steigend

Question

Aufgabe:

Wieso sind Verteilungsfunktionen monoton steigend. Wie kann man das am Besten zeigen?
Problem/Ansatz:

Ich lese oft nur: aus s kleiner gleich t folgt F(s) kleiner gleich F(t)) aber wie kann ich perfekt zeigen dass Verteilungsfunktionen monoton steigend sind

Answer 1

Die Ableitung der Verteilungsfunktion ist die Dichtefunktion und die ist ja nie negativ. Damit kann die Verteilungsfunktion nie fallen.

Comments

Danke für deine Antwort!

---

Du kannst auch begründen. In jedem Intervall [a, b] mit a < b bestimmt sich die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert aus diesem Intervall angenommen wird über

P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)

und diese Wahrscheinlichkeit kann ja nie negativ sein. Also

F(b) - F(a) ≥ 0
F(b) ≥ F(a) mit b > a

und genau dieses ist die Definition von monoton steigend.

Answer 2

Hallo,

die Antwort von Mathecoach wirft die Frage auf, warum eine Dichtefunktion nichtnegativ ist. Sie lässt auch den Fall unbeantwortet, dass die Verteilungsfunktion gar keine Dichte hat.

Ich würde es eher elementar über die Definition der Verteilungsfunktion machen - evtl. passt das jetzt nicht mit Euren Bezeichungen: F sei Verteilungsfunktion zur Zufallsvariable X, Grundraum \(\Omega\); dann gilt:

$$s \leq t \Rightarrow (\forall \omega \in \Omega: \quad X(\omega) \leq s \Rightarrow X(\omega) \leq t )$$

$$\Rightarrow F(s)=P(X \leq s) \leq P(X \leq t)=F(t)$$

Gruß Mathhilf

Comments

Danke für deine Antwort! Aber was sagt die Formel jetzt genau aus: Also F(s) ist ja die Verteilungsfunktion. =P(X≤s) und du hast gezeigt wenn s≤t → X(w)≤ t, dann ist die Verteilungsfunktion auch ≤ F(t) und damit monoton steigend? oder wie kann man das am Besten erklären mit den eigenen Worten oder verdeutlichen?

---

Je größer die Ereignismenge, desto größer ist ihre Wahrscheinlichkeit.

Das ist wäre für mich ein einleuchtender elementarer Zusammenhang, den ich nicht weiter erklären könnt.

---

okay du hast also gezeigt: aus  s ≤ t  folgt F(s)≤ F (t) das folgt  aus der Monotomie der Verteilung als Wahrscheinlichkeitsmaß denn aus Ereignis x ≤ s folgt x ≤ t

und diese Eigenschaft ergibt sich durch: Je größer die Ereigsmenge desto größer ist die Wahrscheinlichkeit

---

Könntest du mir netterweise erklären wofür s,t steht? Die stehen für 2 verschiedene Ereignisse? Zu. S= das Man eine 1,2 würfelt und t= eine 1,2,3  würfelt?

Und w ist die Wahrscheinlichkeit? Und X(w)?