Gerade und Parabel schneiden

Question

Wie geht das?

 

Gegeben ist die Kostenfunktion k(x)=0,025x²+2x+160

a) welche Ursprungsgerade h schneidet die Kostenkurve in x=20 ?

Bestimmen sie die Gleichung der Geraden und die Koordinaten des weiteren Schnittpunktes.

Answer 1

Nachtrag und Korrektur:

Berechne zunächst den Funktionswert k(20). Dann weißt du, welcher y-Wert zum x-Wert 20 gehört.

k(20) = 210

Jetzt kennst du den Punkt, der gleichzeitig auf der Ursprungsgeraden liegen muss, nämlich (20/210).

Damit verläuft die Gerade durch die Punkte (0/0) und (20/210). Somit ist die Steigung m = 210/20 = 10,5 und der Achsenabschnitt ist Null (wegen Ursprung).

Daher heißt die Gleichung der Geraden   f(x) = 10,5  x.

So jetzt noch die beiden rechten Seiten von k(x) und f(x) gleichsetzen und die entstehende quadratische Gleichung nach x auflösen.

beste Grüße

Comments

Hi Sigrid, da haste Dich verlesen. Es ist 0,025x^2 und nicht 0,25x^2 der erste Summand :).

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Ja, danke, natürlich hast du recht.

Answer 2

Hi,

wenn die Gerade die Parabel bei x = 20 schneidet, muss sie durch P(20|k(20)) gehen. Setze x = 20 in die Parabel ein:

k(20) = 210

Damit ergibt sich für die Gerade h(x): 210 = 20*m --> m = 10,5 und damit h(x): y = 10,5x.

Zur Bestimmung des anderen Schnittpunktes:

0,025x^2+2x+160 = 10,5x    |-10,5x

0,025x^2-8,5x+160 = 0         |:0,025 und dann pq-Formel (oder direkt die abc-Formel)

x₁ = 20 und x₂ = 320

 

Wir haben nochmals x = 20 bestätigt und außerdem die zweite Schnittstelle x = 320 gefunden. Letzteres in h(x) einsetzen um den Punkt zu erhalten:

h(320) = 3360

Der zweite Schnittpunkt sitzt also bei Q(320|3360).

Grüße

Answer 3

Nun, Ursprungsgeraden haben die allgemeine Form

g ( x ) = m * x

Gesucht ist nun die Steigung m derjenigen Ursprungsgeraden, für die gilt:

g ( 20 ) = k ( 20 )

<=> m * 20 = 0,025 20² + 2 * 20 + 160 = 210

<=> m = 210 / 20 = 10,5

Die gesuchte Geradengleichung lautet daher:

g ( x ) = 10,5 x

 

Die Schnittpunkte von g ( x ) und k ( x ) findet man durch Gleichsetzen:

10,5 x = 0,025 x² + 2 x + 160

Auflösen dieser quadratischen Gleichung nach x liefert die Schnittpunktstellen

x₁ = 20 (diese Stelle kennen wir schon)

und als weitere Schnittpunktstelle:

x₂ = 320

sodass also folgende Schnittpunkte existieren:

S₁ = ( x₁ | g ( x₁ ) ) = ( 20 | 210 ) und

S₂ = ( x₂ | g ( x₂ ) ) = ( 320 | 3360 )

Hier ein Schaubild von k ( x ) und g ( x ):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=10.5x%2C0.025x^2%2B2x%2B160from0to350