Vollständige Induktion. Summieren von k=1 bis n: ∑(3k^2 -3k+1) = n^3

Question

Aufgabenstellung:

(a) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass die Aussage

A(n): \( \sum \limits_{k=1}^{n} \left(3 k^{2}-3 k+1\right)=n^{3} \)

für alle n Element N₀ richtig ist.
(b) Folgern Sie aus der Summenformel in (a), dass (n³ - n)/3 Element N₀

Ich bekomme irgendwie bei der Induktionsannahme auf n³ +3n² +3n +1

Allerdings glaube ich kaum das das stimmt, und was (b) betrifft weiss ich nicht so ganz wie ich dort vorgehen soll, einfach umstellen?

Answer 1

(a) Hier genügt möglicherweise der Hinweis, dass  (n + 1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1  ist.$$\text{(b) }\sum_{k=1}^n(3k^2-3k+1)=n^3\Leftrightarrow3\sum_{k=1}^n(k^2-k)+\sum_{k=1}^n1=n^3$$$$\Leftrightarrow\sum_{k=1}^n(k^2-k)=\frac{n^3-n}3.$$

Comments

in der Aufgabenstellung steht ja explizit das dies mit vollständiger Induktion gezeigt werden soll, deshalb habe ich das auch versucht aber da ist wohl irgendein Fehler drin...

trotzdem danke für die (b), aber bei (a) bräuchte ich doch nen Lösungsweg

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Induktionsschritt: Zeige, dass die Aussage für \(n + 1\) gilt.$$\sum_{k=1}^{n+1}(3k^2-3k+1)\overset{\text{IV}}{=}n^3+3(n+1)^2-3(n+1)+1$$$$=n^3+3n^2+6n+3-3n-3+1$$$$=n^3+3n^2+3n+1$$$$=(n+1)^3.$$