Hallo Maxi,
Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f und g im Intervall -3 ≤ x ≤ 2,5 in das Koordinatensystem
~plot~ (x-2)*e^x;e^x/4;0.5*e^(1.5)*x-1.25*e^(1.5);[[-4|3.5|-4|4]];{1.5|-0.5*e^(1.5)} ~plot~
\(f(x)\) ist der blaue Graph und \(g(x)\) der rote. Die Tangente \(t\) ist grün.
Auf dem Graph der Funktion g liegt der Punkt B , der Berührungspunkt einer Tangente ist, die parallel zur Tangente t verläuft. Berechnen Sie die Koordinaten von B.
Die Tangente - ich nenne sie mal \(u\) - an der Funktion \(g\) soll parallel zu \(t\) verlaufen. D.h. beide Tangenten müssen die gleiche Steigung \(m\) haben. \(m\) ist der Faktor vor dem \(x\) in der linearen Gleichung der Tangente. $$t(x) = 0,5e^{1,5} x - 1,25e^{1,5} \implies m = 0,5 e^{1,5}$$Dann berechnet man die Stelle \(x\) bei der \(g\) diese Steigung annimmt. Dazu leite ich \(g\) nach \(x\) ab:$$g(x) = \frac 14 e^x \\ g'(x) = \frac 14 e^x$$ (das war nicht schwer!) Nun sucht man die Stelle \(x_1\), wo \(g'=m\) ist \( \begin{aligned}g'(x_1) = \frac 14 e^{x_1} &= \frac 12 e^{1,5} \\ e^{x_1} &= 2 e^{1,5} &&|\, \ln \\ x_1 &= \ln(2) + 1,5 \approx 2,19\end{aligned} \)
Und jetzt kann man die lineare Funktion von \(u\) als Punkt-Steigungsform aufstellen: \( \begin{aligned} g(x_1) &= \frac 14 e^{\ln(2) + 1,5} = \frac 14\left( e^{\ln(2)} \cdot e^{1,5}\right)= \frac 12 e^{1,5}\\ u(x) &= m(x-x_1) + g(x_1)\\ &=\frac 12 e^{1,5} (x - (\ln(2) + 1,5)) + \frac 12 e^{1,5} \\ &= \frac 12 e^{1,5} (x - \ln(2) - 0,5)\end{aligned} \) (war aber gar nicht Teil der Aufgabe!)
~plot~ (x-2)*e^x;e^x/4;0.5*e^(1.5)*x-1.25*e^(1.5);[[-4|3.5|-4|4]];{1.5|-0.5*e^(1.5)};e^(1.5)*(x-(ln(2)+0.5))/2;{ln(2)+1.5|e^(1.5)/2} ~plot~
Der Punkt \(B(x_1|\, g(x_1)) = B(\ln(2)+1,5|\,0,5e^{1,5})\) ist der Berührpunkt der pinken Tangente \(u\) mit der roten Funktion \(g\).
