Aloha :)
Schreibst du eigentlich mit Boxhandschuhen? Deine Schrift ist für mich schwierig zu lesen. Daher prüfe bitte im Folgenden nach, ob ich die Zahlen richtig übernommen habe.
Die 3 Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) bilden genau dann eine Basis des \(\mathbb R^3\), wenn das von ihnen aufgespannte 3-dimensionale Volumen nicht Null ist. Denn wäre es Null, würden die 3 Vektoren in einer Ebene liegen oder alle kollinear zuenander sein. Das von den 3 Vektoren aufgepannte Volumen kannst du mit der Determinante berechnen:
$$V=\left|\begin{array}{rrr}-2 & 4 & 1\\3 & 1 & -1\\1 & 0 & 2\end{array}\right|=-\pink4\cdot\left|\begin{array}{rrr}\cancel{-2} & \cancel{\pink4} & \cancel 1\\3 & \cancel1 & -1\\1 & \cancel0 & 2\end{array}\right|+\pink1\cdot\left|\begin{array}{rrr}-2 & \cancel4 & 1\\\cancel3 & \cancel{\pink1} & \cancel{-1}\\1 & \cancel0 & 2\end{array}\right|$$$$\phantom V=-4\cdot\left|\begin{array}{rr}3 & -1\\1 & 2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{rr}-2 & 1\\1 & 2\end{array}\right|=-4(6+1)+(-4-1)=-33$$Das negative Vorzeichen sagt uns, dass die 3 Basisvektoren ein Linkssystem und kein Rechtssystem bilden. Das ist hier aber irrelevant. Entscheidend ist, dass das Volumen mit \(33\,\mathrm{VE}\) ungleich Null ist. Das heißt, die 3 Vektoren bilden eine Basis des \(\mathbb R^3\).
Nun sollst du den Vektor \((5;7;4)\) mit den neuen Basisvektoren schreiben:$$\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}\cdot x+\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}\cdot y+\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\cdot z=\begin{pmatrix}5\\7\\4\end{pmatrix}$$
Das Gleichungssystem musst du lösen:$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline-2 & 4 & 1 & 5 &+2Z_3\\3 & 1 & -1 & 7 &-3Z_3\\1 & 0 & 2 & 4 &\\\hline0 & 4 & 5 & 13 & -4Z_2\\0 & 1 & -7 & -5\\1 & 0 & 2 & 4\\\hline0 & 0 & 33 & 33 & \div33\\0 & 1 & -7 & -5\\1 & 0 & 2 & 4\\\hline0 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & -7 & -5 & +7Z_1\\1 & 0 & 2 & 4 & -2 Z_1\\\hline0 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 0 & 2\\1 & 0 & 0 & 2\end{array}$$
Die gesuchte Darstellung ist also:$$\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}\cdot\pink2+\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}\cdot\pink2+\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\cdot \pink1=\begin{pmatrix}5\\7\\4\end{pmatrix}$$
