Geben Sie die Koordinaten des Vektors (2, −1, 1) bezuglich der Basis an

Question

Hallo, könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen

Aufgabe: Zeigen Sie, dass a = (1, 1, 0), b = (0, 0, 1) und c = (1, 0, 1) eine Basis des R3
bilden und geben Sie die Koordinaten des Vektors (2, −1, 1) bezüglich der Basis an.

Problem/Ansatz: zum ersten Teil der Aufgabe habe ich die Determinante der Vektoren berechnet und bin auf das Ergebnis 1 gekommen. Da die Determinante ungleich 0 ist, sind die Vektoren linear unabhängig, bilden also eine Basis, richtig?

Leider fehlt mir komplett der Ansatz zum 2. Teil der Basis. Ich verstehe die Aufgabe nicht richtig.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Deine Argumentation mit der Determinante als Nachweis für die Basis-Eigenschaft passt.

Da die Koordinaten der neuen Basisvektoren \(B\) bezüglich der kanonischen Standardbasis \(E\) angegebn sind, kennst du die Transformationsmatrix von \(B\) nach \(E\):$${_E}\mathbf{id}_B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}$$Damit kannst du den Vektor \(\vec v_E=(2;-1;1)^T\), dessen Koordinaten auch bezüglich der Standardbasis \(E\) angegeben sind, in die Basis \(B\) transformieren:$$\vec v_B={_B}\mathbf{id}_E\cdot\vec v_E=\left({_E}\mathbf{id}_B\right)^{-1}\cdot\vec v_E=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\3\end{pmatrix}$$