4.17 Bestimmen Sie die Koordinaten in dieser Basis des Vektors i = (1, 0, 0).

Question

17. Welche von den folgenden Mengen M bilden eine Basis von R3?
(a) M = {(1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3)}

,
(b) M ={(3, 1,−4), (2, 5, 6), (1, 4, 8)}

,
(c) M ={(2,−3, 1), (4, 1, 1), (0,−7, 1)}

.
Wenn die gegebenen Vektoren eine Basis bilden: bestimmen Sie die Koordinaten
in dieser Basis des Vektors i = (1, 0, 0).

was muss man sich hier ueberlegen?

Answer 1

was muss man sich hier ueberlegen?

Als Erstes schreibst du die vermeintlichen Basen als 3x3-Matrizen und bestimmst ihre Determinante.

Eine Basis liegt vor, wenn die Determinante nicht 0 ergibt.

Dann hast du 3 Basisvektoren: u,v und w.

Lösen nun das Gleichungssystem

i = au + bv + cw

nach a,b,c auf.     (a,b,c Element R)

Der Vektor (a,b,c) ist dann die Darstellung von i in der gewünschten Basis.

Answer 2

(a) M = {(1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3)}

1a + 2b + 3c = 1 
2b + 3c = 0 
3c = 0

a = 1, b = 0, c = 0

 

(b) M ={(3, 1,−4), (2, 5, 6), (1, 4, 8)}

3a + 2b + c = 1 
a + 5b + 4c = 0 
-4a + 6b + 8c = 0

a = 8/13, b = - 12/13, c = 1

 

(c) M ={(2,−3, 1), (4, 1, 1), (0,−7, 1)}

2a + 4b = 1 
-3a + b - 7c = 0 
a + b + c = 0

Keine Lösung. Daher ist das hier keine Basis des R³