Bestimmen Sie die Matrixdarstellung AEE von L bezuglich der Basis E

Question

Aufgabe:

… Die lineare Abbildung L:R^3 - R^3 sei bestimmt durch

\(L(e^1)=e^1+e^2+e^3\;;\;L(e^2)=e^1+e^2\;;\;L(e^3)=e^3\)

wobei \(E=(e^1,e^2,e^3)\) die kanonische Basis des R^3 bezeichne

Bestimmen Sie die Matrixdarstellung A^E_{E von}  L bezuglich der Basis E
Problem/Ansatz:

Ich würde mich über Erklärung freuen

Answer 1

Aloha :)

Du weißt, wie die Abbildung \(L\) auf einzelne Vektoren wirkt:$$L\cdot\red{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}=\green{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\quad;\quad L\cdot\red{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}=\green{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\quad;\quad L\cdot\red{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}=\green{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$$

Diese 3 Gleichungen kannst du in einer Matrix-Gleichung zusammenfassen:$$L\cdot\red{\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}}=\green{\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\1 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\end{pmatrix}}$$

Jetzt müsstest du normalerweise die rote Matrix invertieren und von rechts an beide Seiten multiplizieren, um die Abbildungs-Matrix \(L\) zu erhalten. Da die rote Matrix aber die Einheitsmatrix ist, sind wir bereits fertig:$$L=\green{\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\1 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\end{pmatrix}}$$

Answer 2

In den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren, also ist die Matrix

1      1       0
1      1       0 
1      0       1