Bestimme die Darstellung des Vektors x = (3|2|-2) bezüglich der Basis.

Question

Aufgabe:

Bestimme die Darstellung des Vektors x = (3|2|-2) bezüglich der Basis.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe die Aufgabe so gut wie gelöst, jedoch verstehe ich die obengenannte Aufgabe nicht. Bei der Aufgabe sind die Vektoren u, w und v  linear unabhängig und bilden eine Basis

u, v, w = 0 ∈ ℝ3

Wie genau stelle ich das nun dar?

Gruß

Answer 1

Aloha :)

Du musst die Gleichung$$a\cdot\vec u+b\cdot\vec v+c\cdot\vec w=\begin{pmatrix}3\\2\\-2\end{pmatrix}$$lösen. Das kannst du mit einem Gleichungssystem machen. Der Lösungsvektor \((a,b,c)^T\) ist dann die gesuchte Darstellung des Vektors bezüglich der Basis \((\vec u,\vec v\,\vec w)\).

Da du die Vektoren \(\vec u,\vec v,\vec w\) nicht angegeben hast, kann ich dir das nicht vorrechnen.

Nachtrag: Da die Vektoren nun bekannt sind, hier das zu lösende Gleichungssystem:$$\begin{array}{rrrrl}a & b & c & = &\text{Aktion}\\\hline5 & 7 & 9 & 3 &\\0 & -2 & 4 & 2 & \div(-2)\\0 & 6 & -8 & -2 & +3\cdot\text{Zeile 2}\\\hline 5 & 7 & 9 & 3 &-7\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 1 & -2 & -1 & \\0 & 0 & 4 & 4 & \div 4\\\hline 5 & 0 & 23 & 10 & -23\cdot\text{Zeile 3}\\0 & 1 & -2 & -1 & +2\cdot\text{Zeile 3}\\0 & 0 & 1 & 1\\\hline5 & 0 & 0 & -13 & \div5\\0 & 1 & 0 & 1 &\\0 & 0 & 1 & 1 &\\\hline1 & 0 & 0 & -2,6 & \\0 & 1 & 0 & 1 &\\0 & 0 & 1 & 1 &\\\hline\end{array}$$Als Lösung erhalte ich \(a=-2,6\) ; \(b=1\) ; \(c=1\). Das heißt$$\begin{pmatrix}3\\2\\-2\end{pmatrix}=-2,6\cdot\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}7\\-2\\6\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}9\\4\\-8\end{pmatrix}$$In der neuen Basis lautet der Vektor also \((-2,6|1|1)^T\).

Comments

Erstmal danke für die Antwort.

Im folgenden gebe ich die Vektoren an:

Vektor u = (5|0|0)

Vektor v = (7|-2|6)

Vektor w = (9|4|-8)

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Ich habe meine Antwort ergänzt ;)

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Vielen vielen Dank für den Nachtrag.

Da hab ich noch eine Frage bezüglich des Gleichungssystem.

Wie genau kommt man da auf die Lösungen?

Gruß

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Ich habe meine Antwort nochmal ergänzt ;)

Answer 2

1. Sind keine Werte für die Verktoren \( u, v \) und \( w \) gegeben?

2. Was soll \( u, v, w = 0 \in \mathbb{R} \) bedeuten?

3. Bilde die Matrix \( A \) die als Spalten die Vektoren \( u, v \) und \( w \) besitzt, also $$ A = (u | v | w ) $$ und bilde die Inverse von \(A \). das geht, weil \( u, v, w \) linear unabhängig sind uind berechne $$ A^{-1} x = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}  $$

Dann gilt $$ x = \alpha u + \beta v + \gamma w $$

Answer 3

\(\newcommand{\vek}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}r\vek{5\\0\\0}+s\vek{7\\-2\\6}+t\vek{9\\4\\-8}=\vek{3\\2\\-2}\)

5r+7s+9t=3    (1)

   -2s+4t=2    (2)

     6s-8t=-2    (3)

-------

2*(2)+(3) -->  2s=2 → s=1

(2) → -2+4t=2 → t=1

(1) → 5r+7+9=3

         5r=-13

            r=-13/5=-2,6