1. Wenn \(A\in\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})\) Ordnung \(n\) hat, und \(v\neq 0\in\mathbb{C}\) ein Eigenvektor von \(A\) zum Eigenwert \(\lambda\) ist, dann gilt \(\lambda^nv=A^nv = \mathbb{1}v\), also \(\lambda^n=1\). Umgekehrt, wenn du ein \(\lambda\) mit der Eigenschaft \(\lambda^n=1\) hast, dann kannst du sehr einfach eine Matrix angeben, die \(\lambda\) als Eigenwert besitzt.
2. \(\mathbb{Z}\) ist ein Unterring von \(\mathbb{C}\), also ist \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})\) eine Untergruppe von \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})\), denn: Die Teilmengeninklusion ist per Definition gegeben, die Multiplikation ist dieselbe und beide \(\mathrm{GL}_2\)'s sind per Definition Gruppen. Kommt hier drauf an, wie ihr die Dinger konkret definiert habt. Solltet ihr einfach definiert haben: \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}) = \{A \in\mathrm{Mat}_{2\times 2}(\mathbb{Z})|A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1} = \pm 1\}\), dann hast du natürlich die Gruppenaxiome per Hand nachzurechnen. Da hätte ich dann gerne mal gewusst, wo das Problem liegt, bevor ich das alles hier hinschreibe.
3. Wenn \(A\in\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})\) eine Matrix mit endlicher Ordnung \(n\) ist, dann müssen die Eigenwerte von \(A\) allesamt \(n\)-te Einheitswurzeln sein. Da sie aber Nullstellen des charakteristischen Polynoms \(\chi(A)\) sind, das ganzzahlige Koeffizienten besitzt (!), muss \(\chi(A)\) ein Vielfaches des \(n\)-ten Kreisteilungspolynoms \(\Phi_n\) sein, denn: \(\Phi_n\) ist Minimalpolynom der primitiven \(n\)-ten Einheitswurzeln (über \(\mathbb{Q}\)). Daraus folgt natürlich, dass der Grad von \(\Phi_n\) nicht höher sein darf als der Grad von \(\chi(A)\), welcher ja 2 ist, also kommen nur die \(n\) infrage, für die \(\Phi_n\) Grad \(\leq 2\) besitzt. Das sind genau \(1,2,3,4,6\).
