Warum ist die Aussage "∅ × {a} = ∅" Wahr?

Question

Ich habe folgende Aussage: ∅ × {a} = ∅

Warum ist die Aussage Wahr? Wieso kann ich das dann ausrechnen: {∅} × {∅} = {(∅, ∅)} ?

Vielen Dank im Voraus!

MfG
Lenovo

Answer 1

Für Mengen A und B gilt \(A\times B =\{(x,y)| \ x\in A \ \wedge \ y\in B\}\).

Dann wäre \(\varnothing \times \{a\} = \{(x,y)| \ x\in \varnothing \ \wedge \ y\in \{a\}\}\), da es allerdings kein \(x\in \varnothing\) gibt, ist das Kreuzprodukt ebenfalls wieder die leere Menge.

Zu deiner zweiten Anmerkung: \(\{\varnothing\}\times \{\varnothing\} = \{(x,y)| \ x\in \{\varnothing\} \ \wedge \ y\in \{\varnothing\}\}=\{(\varnothing, \varnothing)\}\), da \(\varnothing \in \{\varnothing\}\).

Comments

Schön erklärt anhand der Definition.

---

Danke vielmals für die Antwort.

Heisst das, dass ich mir ∅ wie {} vorstellen kann? Dies würde ja dann bedeuten, dass bei meiner zweiten Aufgabe so etwas haben:

{{}}*{{}} ={(∅,∅)}

Dies würde bedeuten dass die Äussere Menge nicht leer ist, sondern eine leere Menge beinhaltet?

Vielen Dank im Voraus!

MfG
Lenovo

---

Es ist tatsächlich \(\varnothing\) nur eine andere Schreibweise (Symbol) für \(\{\}\), beides steht für eine Menge, in der sich kein Element befindet.

\(\{\{\}\}=\{\varnothing\}\) ist die Menge, die die leere Menge als Element enthält. Sie ist insbesondere nicht leer.

---

Super, danke vielmals NeverGiveUp

---

Da geht mein Daumen nach oben.

Answer 2

In der Menge wären ja alle Paare mit 1. Komponente aus

der leeren Menge. Davon gibt es aber keine.