Wie berechne ich das symmetrische intervall

Question

Aufgabe:

Eine Maschine stellt Semmeln mit einer durchschnittlichen Masse von 47g her, wobei die Masse annähernd normalverteilt ist und die Standardabweichung 0,8g beträgt.

a) wie wahrscheinlich ist, dass eine Semmel aus dieser Produktion mehr als 47,8 wiegt?

Habe es ausgerechnet

Es sind 15,87  % um die 16 Semmeln

b) geben sie das symmetrische intervall um den Erwartungswert an, bei gleicher Standardabweichung, in dem 80% der Semmeln liegen.

Wie berechne ich das symmetrische intervall?

Answer 1

Aloha :)

Aus der Aufgabenstellung: \(\quad\mu=47\quad;\quad\sigma=0,8\)

Bei der (a) bekomme ich dasselbe Ergebnis wie du heraus:$$p(X>47,8)=1-p(X\le47,8)=1-\phi\left(\frac{47,8-\mu}{\sigma}\right)=1-\phi\left(\frac{47,8-\mu}{\sigma}\right)$$$$\phantom{p(X>47,8)}=1-\phi(1)\approx1-0,841345=0,158655\approx15,87\%$$

Bei der (b) suchen wir das Intervall \([\mu-a\,;\,\mu+a]\), in dem 80% aller Semmeln liegen:

$$0,8\stackrel!=p(\mu-a<X<\mu+a)=p(X<\mu+a)-p(X<\mu-a)$$$$\phantom{0,8}=\phi\left(\frac{(\mu+a)-\mu}{\sigma}\right)-\phi\left(\frac{(\mu-a)-\mu}{\sigma}\right)=\phi\left(\frac{a}{\sigma}\right)-\phi\left(-\frac{a}{\sigma}\right)$$Wir nutzen nun die Symmetrie \(\phi(-z)=1-\phi(z)\) der Standard-Normalverteilung aus:

$$\left.0,8\stackrel!=\phi\left(\frac{a}{\sigma}\right)-\left[1-\phi\left(\frac{a}{\sigma}\right)\right]\quad\right|\quad\text{Symmetrie ausnutzen}$$$$\left.0,8=2\phi\left(\frac{a}{\sigma}\right)-1\quad\right|\quad+1$$$$\left.1,8=2\phi\left(\frac{a}{\sigma}\right)\quad\right|\quad\div2$$$$\left.0,9=\phi\left(\frac{a}{\sigma}\right)\quad\right|\quad\phi^{-1}(\cdots)$$$$\left.1,281552=\frac{a}{\sigma}\quad\right|\quad\cdot\sigma$$$$\left.a=1,281552\cdot\sigma\quad\right|\quad\sigma=0,8$$$$a=1,025241$$80% der Semmeln haben ein Gewicht zwischen \(45,9748\) und \(48,0252\) Gramm.