Punkt in skaliertem Rechteck wiederfinden

Question

Hallo

In einem Rechteck mit bekannten Seitenlängen befindet sich ein Punkt P. Das Rechteck wird beliebig skaliert und ergibt nun ein zweites Rechteck, bei dem die Seitenlängen ebenfalls bekannt sind. Das Verhältnis der beiden Rechtecke muss nicht übereinstimmen. Wichtig ist auch, dass es eine bildliche Skalierung ist (also der Punkt ist im vergrößerten Rechteck größer und im verkleinerten Rechteck kleiner als im Ausgangsrechteck). Nun soll der mittlere Punkt von P im zweiten Rechteck ermittelt werden.

Beispiel: In einem Bild A befindet sich eine Person. Ein Punkt P wird in der Mitte der Nase der Person festgelegt. Nun wird A vergrößert sodass ein zweites Bild B entsteht. In B soll nun wieder der Mittelpunkt der Nase der Person ermittelt werden, wobei die Nase nun etwas größer oder kleiner ist. Gegeben sind die Seitenlängen von A und B und der Punkt P im Bild A.

Ich frage mich nun wie, bzw. ob es überhaupt möglich ist den Punkt im zweiten Rechteck rechnerisch zu ermitteln.

Vielen Dank im Voraus für alle Antworten

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Mal angenommen, das Rechteck habe die Seitenlängen \(a\) (breit) und \(b\) (hoch) und der Punkt \(P\) ist \(x\) vom linken Rand und \(y\) vom unteren Rand entfernt. Das skalierte Rechteck habe die Seitenlängen \(a'\) und \(b'\). Dann berechnen sich die neuen Koordinaten des Punktes \(P\) im skalierten Rechteck, bezogen auf dessen untere linke Ecke zu $$\begin{aligned} x' &= \frac {a'}{a} x \\ y' &= \frac {b'}{b} y\end{aligned}$$Soll der Punkt im skalierten Rechteck immer noch ein Kreis mit Durchmesser \(d'\) bleiben (und keine Ellipse), so würde ich Dir das geometrische Mittel als Skalierungsfaktor empfehlen:$$d' = \sqrt{\frac{a' \cdot b'}{a \cdot b}} \, d$$\(d\) ist der Durchmesser des Punktes im ursprünglichen Rechteck.

Comments

An sich hatte ich mir das auch erst so überlegt, habe aber beim Anwenden eine große Abweichung vom y' Wert entdeckt. Ich hatte ein Bild mit den Maßen 711 x 430 auf 1280 x 750 skaliert [P(167 | 77)]. Beim x' Wert stimmt alles

x' = \( \frac{1280}{711} \) * 167 = 302

Bei y' komme ich jedoch auf rund 134, obwohl es 118 sein müsste (habs ausgemessen)

y' = \( \frac{750}{430} \) * 77 = 134

Vielleicht liegt es am unterschiedlichen Seitenverhältnis der Rechtecke? Falls es so ist, gäbe es da einen Weg dies trotzdem korrekt zu berechnen?

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Bei y' komme ich jedoch auf rund 134, obwohl es 118 sein müsste

134 ist richtig. Der Punkt liegt im Original bei \(167/430 \approx 18\%\) der Höhe und im skalierten Rechteck ebenfalls bei \(134/750 \approx 18\%\). Das passt.

.., obwohl es 118 sein müsste (hab's ausgemessen)

was hast Du da gemessen?

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Ich glaube ich weiß jetzt woran es liegt. Das Bild hat sozusagen einen Mittelpunkt, auf den es immer zentriert wird. Beim Skalieren verändert man lediglich den "Rahmen" rings um das Bild. Es wird also an den Seiten etwas vom Bild abgetrennt oder hinzugefügt. Das bedeutet der Punkt hat verhältnismäßig immer den gleichen Abstand vom Mittelpunkt aus.

Vielen Dank für die Hilfe. Für mein oben beschriebenes Problem ist die Antwort natürlich korrekt.