Reihe Konvergenz was wurde hier für eine Regel benutzt?

Question

Aufgabe:

Berechne die folgende Reihe.

\( \begin{aligned} \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} * \frac{1}{5^{2 n+1}} \\ \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} * \frac{1}{5^{2 n+1}} &=\lim \limits_{n \mapsto \infty} \frac{1-\left(-\frac{1}{25}\right)^{n+1}}{1-\left(-\frac{1}{25}\right)} * \frac{1}{5} \\ &=\frac{1}{\frac{26}{25}} * \frac{1}{5} \\ &=\frac{5}{26} \end{aligned} \)

Problem/Ansatz:

Das ist ja alternierend, muss man dann nicht das Leibnitzkriterium  benutzen?

Das sieht aber im Ansatz aus wie eine geometrische Reihe.

Ich verstehe aber nicht wie man auf die -1/25 kommt oder wie man 5^(2n+1) so umformt, dass man auf folgendes ergebnis kommt.

Würde mich freuen, wenn mir jemand bisschen auf die Sprünge helfen könnte.

Liebe Grüße,

Mauerblümchen

Answer 1

Potenzgesetze!

Es gilt:$$(-1)^n\cdot \frac{1}{5^{2n+1}}=(-1)^n\cdot \frac{1}{(5^2)^n\cdot 5}=\frac{1}{5}\cdot \frac{(-1)^n}{(5^2)^n}=\frac{1}{5}\cdot \left(-\frac{1}{25}\right)^n$$ Und damit:$$\frac{1}{5}\sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{25}\right)^n=\frac{\frac{1}{5}}{1-\left(-\frac{1}{25}\right)}=\frac{5}{26}$$ Das Leibnizkriterium (da \(a_n= \frac{1}{5^{2n+1}}\) eine monoton fallende Nullfolge ist) gibt sofort die Konvergenz der Reihe an, nicht aber den tatsächlichen Wert.

Comments

Super danke, genau das habe ich gesucht :)

Answer 2

Es handelt sich wirklich "nur" um eine (stink-)normale geometrische Reihe mit dem Quotienten  q = -\( \frac{1}{25} \)