Finden Sie Polynome s(X) und t(X) derart, dass

Question

Hallo in die Runde,

und zwar sollte ich den ggt der folgenden beiden Polynome f(X)=x^3-3x^2+3x-3 und g(X)= x^2-4x+6 berechnen. Dieser lautet nach meinen Berechnungen 1. Das sollte stimmen.

Jetzt ist es meine Aufgabe Polynome s(x) und t(x) zu finden,

sodass:

1=s(X)f(x)+t(x)g(X) ist.


Normalerweise mache ich das immer mit rückwärtsrechnen, was eigentlich auch recht gut funktioniert. Hier hänge ich jetzt allerdings, weil ja in meinen Berechnungen nicht einmal der Term 1 als Rest vorkommt. Wie mache ich das hier?

Über eure Hilfe wäre ich euch sehr dankbar.

Comments

Benutze den erweiterten euklidischen Algorithmus. Dann findest du die gesuchten Polynome \(s(x)\) und \(t(x)\).

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Wie kommst du auf ggT 1, wenn der aus dem Euklidischen Alg. nicht rauskommt?

lul

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Hy lul,

mit der Polynomdivision.

LG Gustavo

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Das habe ich schon versucht, Doesbaddel.

Leider komme ich aber auf kein Ergebnis.

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Hallo

schreib doch mal deinen Euklidischen Algorithmus auf. Warum sollten wir die Schreibarbeit machen und nicht du?

Gruß lul

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Nimm den EEA:

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} a & b & r & q & s & t\\[2pt] x^3-3x^2+3x-3 & x^2-4x+6 & x - 9 & x+1 & - & - \\[2pt]x^2-4x+6 & x-9 & 51 & x + 5 & - & - \\[2pt] x-9 & 51 & 0 & \frac{1}{51}(x-9) & - & - \\[2pt] \color{blue}{ 51 } & \color{red}{ 0 } & - & - & - & - \end{array} $$

Die Abbruchbedingung ist erreicht. Der ggT ist also 51 bzw. da nur eindeutig bis auf Assoziiertheit eben 1.

Jetzt von unten nach oben, fange an mit (s,t) = (1,0):

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} a & b & r & q & s & t\\[2pt] x^3-3x^2+3x-3 & x^2-4x+6 & x - 9 & x+1 & - & - \\[2pt]x^2-4x+6 & x-9 & 51 & x + 5 & - & - \\[2pt] x-9 & 51 & 0 & \frac{1}{51}(x-9) & - & - \\[2pt] { 51 } & { 0 } & - & - & 1 & 0  \end{array} $$

dann rechne \( s = t_{\text{alt}} \), \( t = s_{\text{alt}} - q \cdot t_{\text{alt}} \)

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} a & b & r & q & s & t\\[2pt] x^3-3x^2+3x-3 & x^2-4x+6 & x - 9 & x+1 & - & - \\[2pt]x^2-4x+6 & x-9 & 51 & x + 5 & - & - \\[2pt] x-9 & 51 & 0 & \frac{1}{51}(x-9) & \color{green} 0 & - \\[2pt] { 51 } & { 0 } & - & - & 1 & \color{green} 0  \end{array} $$

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} a & b & r & q & s & t\\[2pt] x^3-3x^2+3x-3 & x^2-4x+6 & x - 9 & x+1 & - & - \\[2pt]x^2-4x+6 & x-9 & 51 & x + 5 & - & - \\[2pt] x-9 & 51 & 0 & \color{orange}{\frac{1}{51}(x-9)} & 0 & \color{orange}1 \\[2pt] { 51 } & { 0 } & - & - & \color{orange} 1 & \color{orange} 0  \end{array} $$

...

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} a & b & r & q & s & t\\[2pt] x^3-3x^2+3x-3 & x^2-4x+6 & x - 9 & x+1 & -(x+5) & x^2 + 6x+6 \\[2pt]x^2-4x+6 & x-9 & 51 &  x + 5 & 1 &  -(x+5) \\[2pt] x-9 & 51 & 0 & \frac{1}{51}(x-9) &  0 & 1\\[2pt] { 51 } & { 0 } & - & - & 1 & 0 \end{array} $$

also ist

$$ -(x+5) \cdot(x^3-3x^2 + 3x-3) +(x^2+6x+6)\cdot (x^2-4x+6) = 51 $$

bzw.

$$ \frac{-(x+5)}{51} \cdot(x^3-3x^2 + 3x-3) + \frac{(x^2+6x+6)}{51}\cdot (x^2-4x+6) = 1 $$

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@MatHaeMatician mache das doch als Antwort.

Answer 1

Es ist spät, ich muss schlafen,

Darum nut eine Ideen, allgemeines Polynom für s und t annehmen.

Dann mit f bzw. g multiplizieren, dann Gleichungssystem aufstellen, dh die Koeffizienten der jeweiligen potenz müssen zusammen immer Null sein, doch die von x^0 müssen zusammen 1 sein, wenn Du feststellst, dass Du zu viel Koeffizienten für s und t genommen hast, kannst du ja welche festlegen. Doch wie gesagt, es ist Zeit zu schlafen Gute Nacht